§2 向量函数微积分.pdf

文档介绍：作者:王幼宁
第一章预备知识
§2 向量函数微积分
中实变向量函数
给定 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz .设M⊂R(或M⊂ R2).
定义称映射 f : M→E3
p→f (p) = (f1(p), f2(p), f3(p))
为 E3 中实变一元(或二元)向量函数;称 M 为其定义域,称 f (M) 为其值
域,称函数 f1, f2, f3 为其相应分量.
向量函数 f 等价于普通函数 f1, f2, f3 的三元有序组;不加声明时,简
称点(f1, f2, f3) 为 f 的终点(此时起点为O).
例1 r = r(t) = (a cos t , a sin t , 0) , (a = const.>0)
是一元向量函数;其终点轨迹是 xOy 平面上以 O 为
心、以 a 为半径的圆周;其定义域可视为(−∞, +∞) =
R . 图 1-3
例2 , 是二元向量函
r = r(u v) = (cos u , sin u , v)
数;其终点轨迹是单位圆柱面;其定义域可视为 2 .
R

例3 (有界性) 称 f 在 M 有界,若 f(M) 有

:

f 在 M 有界⇔ f 各个分量在 M 有界
图 1-4
⇔存在以 O 为心的球体 B 使{P∈E3| OP∈ f(M)}
⊆ B .
、连续和微积分简介
关于极限、连续和微积分的定义和记号,可以完全类似于对普通一元
或二元函数一样来讨论向量函数,,仅列出等价的事实和
主要的性质.
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作者:王幼宁
⒈等价的分量行为
f 连续⇔ f 各个分量 f1, f2, f3 连续;
f 可导⇔ f 各个分量 f1, f2, f3 可导;
f 可微⇔ f 各个分量 f1, f2, f3 可微;
f 可积⇔ f 各个分量 f1, f2, f3 可积;
k k
f ∈C ⇔ f 各个分量 f1, f2, f3∈C , ∀ k = 0, 1, 2, …, ∞, ω;
并且 f 求各种极限、导数(或称微商或导向量)、微分、高阶导数、偏导
数、定积分、不定积分等等运算的结果,即为由各个分量作相应运算所求
得的结果而构成的向量或向量函数.
约定:今后不声明时总考虑 f ∈C3.
例4 设 r = r(t) = (cos t , sin t , 0) ,则

d r(t+Δt) − r(t)
r ′(t) = r(t) = lim = (−sin t , cos t , 0) ,
dt Δt→0 Δt
∫ r(t) dt = (sin t , −cos t , 0) + (c1 , c2 , c3) ,
其中 c = (c1 , c2 , c3) = const. .
例5 设 r = r(u, v) = (cos u , sin u , v) ,则
∂r
= r = (−sin u , cos u , 0) ,
∂u u
∂r
= r = (0, 0, 1) ,
∂v v
∂2r