文档介绍：微积分方法与函数概念的演变

刘徽求积术中朴素的极限思想方法
例如, 刘徽以弓形的弦a1为底、高h1的端点为顶点在弓形内作内接等腰三角形,求出其面积△1= a1 h1。再以此三角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形,每一个小弓形的面积为△2= a2h2。因两小弓形的面积相等,故有2△2= a2 h2。如此类推下去,到第n次就有2n-1△n=2 n-2anhn。把这些三角形的面积加起来,设Sn为其和,则 Sn= 2i—1 △i = 2i—2aihi 。刘徽对这个过程指出:“割之又割,使至极细,但举弦矢相乘之数,则必近密率矣”。这可以用极限的方法表示为:设S为弓形面积,就有S = Sn = 2i-1△i 。
量分割与积分方法
阿基米德的平衡法
先把面积或体积分成很多窄的平行条或薄的平行层。进而假设把这些薄片挂在杠杆的一端,使它们平衡于容积和重心都为已知的一个图形,而且已知图形的面(体)积一般都是容易求得的。
例如,令r为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平x轴上,,使北极点N与坐标轴原点重合。作2r×r的矩形NABS和等腰直角△NCS ,其中CS⊥NS。让它们围绕x轴旋转,得到圆柱和圆锥。然后,从这三个立体上切下与N的距离为x、厚度为△x的竖立的薄片,并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地为:
球体:πx(2r-x)△x,(若设球片底面半径为R,则R2=r2-(x-r)2=x(2r-x))
柱体:πr2△x
锥体:πx2△x
把球体和锥体的薄片挂在T点(在这里TN = 2r)上。它们的关于N的组合力矩(一个体积关于一个点的矩,是该体积与此点至此体积重心的距离的乘积)为:
[πx(2r-x)△x+πx2△x]2r = 4πr2x△x
这是从柱体上切下来的薄片放在左边与N的距离为x处的力矩的四倍。把所有的这些薄片加到一起,得:
2r [球体体积+圆锥体积] = 4r[圆柱体积]。
即, 2r [球体体积+ ] = 8πr4.
所以, 球体体积=
开普勒的旋转体体积公式
用无数个“同维数”的无穷小元素之和来求面积和体积的方法
例如, 设半径为R的圆围绕其所在平面上且与圆心距离为d的垂直轴旋转而形成圆环。开普勒证明了用通过旋转轴的平面,可以把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片,而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片,进而先推导出每个圆片的体积是πR2l,其中l = 是圆片最小厚度l1与最大厚度l2的平均值,亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算圆环的体积
V = (πR2) = (πR2) (2πd)=2π2R2d。
卡瓦列里的不可分量原理
“不可分量原理”(意大利卡瓦列里,1635年)第一次给出了积分的一般方法。
第一原理:有两个平面片处于两条平行线之间, 在这两个平面片内作任意平行于这两条平行线的直线,如果它们被平面片所截得的线段长度相等,则这两个平面片的面积相等。
第二原理:有两个立体处于两个平行平面之间,在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面,如果它们被立体所截得的面积相等,则这两个立体的体积相等。
实例
对于被置于同一个直角坐标系上的椭圆和圆
= 1(a >b), x2 + y2 = a2,
从上述每一个方程中解出y,得到
y = (a2-x2)1/2, y = (a2-x2)1/2
由此看出:椭圆和圆的对应的纵坐标之比为b/a。这就意味着,椭圆和圆的对应垂直弦之比是b/a;根据卡瓦列里不可分量的第一个原理,有椭圆和圆的面积之比也是b/a。