文档介绍：第三章函数极限
习题
§1 函数极限概念
按定义证明下列极限:
(1); (2);
(3); (4);
(5)
根据定义2叙述
设,证明:
证明:若,则当且仅当为何值时反之也成立?
讨论下列函数在时的极限或左、右极限:
(1); (2);
(3)
设,证明:
证明:对黎曼函数,(当或1时,考虑单侧极限)
§2 函数极限的性质
求下列极限:
(1); (2);
(3); (4);
(5)(为正整数); (6);
(7); (8)
利用迫敛性求极限:
(1); (2)
设。证明:
(1);
(2);
(3)
设
,
试求
设,证明:,其中为正整数
证明:
设
(1)在某内有,问是否必有?为什么?
(2)证明:若,则在某内有
求下列极限
(1); (2);
(3); (4);
(5)
9.(1)证明:若存在,则
(2)若存在,试问是否成立?
§3 函数极限存在的条件
述函数极限的归结原则,并应用它证明不存在
设为定义在上的增(减)函数。证明:存在的充要条件是在上有上(下)界
(1)叙述极限的柯西准则;
(2)根据柯西准则叙述不存在的充要条件,并应用它证明不存在
设在内有定义。证明:若对任何数列且,极限都存在,则所有这些极限都相等
设为上的递增函数。证明:都存在,且
设为狄利克雷函数,。证明:不存在
证明:若为周期函数,且,则
§4 两个重要的极限
求下列极限:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8);
(9); (10)
求下列极限:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6)
证明:
利用归结原则计算下列极限:
(1); (2)
§5 无穷小量与无穷大量
证明下列各式:
(1) (2)
(3)
(4)(为正整数)
(5)
(6)
(7)
:
(1) (2)
求下列函数所表示曲线的渐进线:
(1) (2) (3)
试确定的值,使下列函数与当时为同阶无穷小量:
(1) (2)
(3) (4)
试确定的值,使下列函数与当时为同阶无穷大量:
(1) (2)
(3)
证明:若为无上界数集,则存在一递增数列,使得
证明:若为时的无穷大量,而函数在某上满足,则为时的无穷大量
设与是当时的等价无穷小量,证明:
或
总练习题
求下列极限:
(1); (2);
(3);
(4); (5);
(6);
(7),为正整数
分别求出满足下述条件的常数与:
(1);
(2);
(3)
试分别举出符合下列要求的函数:
(1); (2)不存在
试给出函数的例子,使恒成立,而在某一点处有。这同极限的局部保号性有矛盾吗?
设,在何种条件下能由此推出?
设,试作数列
(1)使得,;
(2)使得,;
(3)使得,
证明:若数列满足下列条件之一,则是无穷大数列:
(1);
(2)
利用上题(1)的结论求极限:
(1); (2)
设,证明
(1);
(2)若,则
:
(1); (2)