文档介绍：●教学目标
、标准方程;
、焦距、焦点位置与方程关系;
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●教学重点双曲线的定义及标准方程
●教学难点区分标准方程的两种不同形式
●教学方法启发引导式
●教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片
●教学过程
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师:我们已经知道,与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆,那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢?
(用双曲线演示模板画出双曲线)下面我们给出双曲线的定义,并研究双曲线的方程.
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我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
说明①常数小于;
②这两个定点叫做双曲线的焦点;
③这两焦点的距离叫双曲线的焦距.
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形式一: (a>0,b>0)
说明:(-c,0)、F2(c,0),这里c2=a2+b2.
形式二: (a>0,b>0)
说明:此方程表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是F1(0,-c)、F2(0, c),这里c2=a2+b2.
推导过程(用幻灯片给出):
如图8—12,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1、F2,并且点O与线段F1F2的中点重合.
设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么,焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
由定义可知,双曲线就是集合
因为
所以得
①
将方程①化简得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
由双曲线的定义可知,2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式得
(a>0,b>0).
师:接下来,我们通过例题来熟悉双曲线的定义与标准方程.
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例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F