文档介绍：一、填空(每题3分,共24分)
,虚部是________,辐角主值是______.
,该图形是否为区域___.
?____.
;
主值为____________________________________________________.
,________.
.
, 则________________,其中定义为________________ .
,是何种类型的奇点?________.
得分
评卷人
二、(6分)设,问在何处可导?何处解析?并在可导处求出导数值.
得分
评卷人
三、(8分)设求的值使为调和函数,并求出解析函数.
得分
评卷人
四、(10分)将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数.
得分
评卷人
五、计算下列各题(每小题6分,共24分)
1.,求

3.
4.
得分
评卷人
六、(6分)求上半单位圆域在映射下的象.
得分
评卷人
七、(8分)求一映射,将半带形域映射为单位圆域.
得分
评卷人
八、(6分)设在内解析,在闭圆上连续,且,证明:
.
得分
评卷人
九、(8分)用Laplace变换求解常微分方程:
答案
一、填空(每题3分,共24分)
,虚部是,辐角主值是.
, 以±2为焦点,长半轴为的椭圆,该图形是否为区域否.
? 是.
;
主值为.
, 0 .
1 .
, 则
其中定义为.
,是何种类型的奇点? 可去.
得分
评卷人
二、(6分)设,问在何处可导?何处解析?并在可导处求出导数值.
解:
(2分)
均连续,要满足条件,必须要
成立
即仅当和时才成立,所以函数处处不解析; (2分)

(2分)
得分
评卷人
三、(8分)设求的值使为调和函数,并求出解析函数.
解:因,要使为调和函数,则有
即(4分)
所以时,为调和函数,要使解析,则有
,

(2分)
所以
即,故
(2分)
得分
评卷人
四、(10分)将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数.
解:的有限孤立奇点为及
(2分)
1)当时
(2分)
2)当
(2分)
3)当
(2分)
4)当

(2分)
得分
评卷人
五、计算下列各题(每小题6分,共24分)
1.,求
解:因在复平面上处处解析
由柯西积分公式知,在内,
(3分)
所以(2分)
而点在内,故
(1分)

解:函数有孤立奇点0与,而且在内有如下Laurent展开式:
(3分)
故(2分)
(1分)
3.
解:,它共有两个二阶极点,且在实轴上无奇点,在上半平面仅有二阶极点,所以(2分)
(1分)
(3分)
4.
解:由三角函数公式
(1分)
(2分)
令,则,于是
(1分)
被积函数在内只有一阶极点
,由公式

故由留数定理
(2分)
得分
评卷人
六、(6分)求上半单位圆域在映射下的象.
解:令,则
,
(3分)
故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕.
(3分)
得分
评卷人
七、(8分)求一映射,将半带形域映射为单位圆域.
解:
(2分)
(1分)
(2分)
(2分)
(1分)