数学物理方程-第5讲（2.4-2.4）.pdf

文档介绍：数学物理方程讲义数学物理方程讲义(电子版)
MathematicalMathematical PhysicsPhysics EquationsEquations
北方交通大学理学院北方交通大学理学院黄晓鸣黄晓鸣 -
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第二章分离变量法
1. 有界弦的自由振动
2. 有限长杆上的热传导
3. 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
4. 非齐次方程的解法
5. 非齐次边界条件的解法
6*.关于二阶常微分方程固有值问题的
一些结论
非齐次方程的解法(续)
非齐次方程的解法
考虑两端固定的弦的强迫振动问题:
⎧∂∂22uu
2 ,,
⎪ 22=+afxtxlt(,)0 <<>0
∂∂tx
⎪
⎨uu|0,|0xx==0 ==l
⎪∂u
⎪ux|(),|()tt==00==ϕψ x
⎩⎪∂t
思路:把振动看作是仅由强迫力引起的振动和仅
由初始状态引起的振动的合成。
非齐次方程的解法(续)
令U(x,t)=V(x,t)+W(x,t),其中V(x,t)是下述问题的解:
⎧∂∂22uu
2 ,,
⎪ 22=+afxtxlt(,)0 <<>0
∂∂tx
⎪
⎨uu|0,|0xx==0 ==l ()
⎪∂u
⎪u |0,|0tt==00==
⎩⎪∂t
而W(x,t) 是下述问题的解:
⎧∂∂22uu
2 ,,
⎪ 22=<<>axlt00
∂∂tx
⎪()
⎨uu|0,|0xx==0 ==l
⎪∂u
⎪ux|(),|()tt==00==ϕψ x
⎩⎪∂t
非齐次方程的解法(续)
问题()的解可以用分离变量法求得。只需解问题
()即可。假设()的解是它对应齐次方程的解
(驻波)的叠加,我们有
∞
nπ()
Vxt(,)= ∑ vn ()sin tl x
n =1
将自由项也按特征函数系展开:
∞
nπ()
f (,)xt = ∑ f n ()sintxl
n =1
其中
l
ft()= 2 fxt ( ,)sinnπ xdx
n ll∫0
非齐次方程的解法(续)
将()和()代入()的方程中,得
∞
" an22ππ 2 n
⎡⎤vt()+ 2 vt ()−≡ ft () sin x 0 ()
∑⎣⎦n l nn l
n =1
由此可得
" an22π 2
vt()+=2 vt () ft ()
n l nn
由初始条件又有
'
vvn (0)= 0 (0)= 0
非齐次方程的解法(续)
考虑以下定解问题确
22 2
" anπ()
vt()+=2 vt ()f ()t
n l nn
'
vvn (0)= 0 (0)= 0
使用Laplace变换求解()式,可得
pU2 () p+=an22π 2 U () p F () p
nnnl 2
解得
1
Upnn()= 22 2 Fp()
p 2 + anπ
l 2
非齐次方程的解法(续)
再对上式求逆Laplaceπ变换求解,可得
l
vt()= l f (τ)sinnatπτ()− dτ
nnna∫0 l
最后得到方程()的解是
∞
nπ
Vxt(,)= ∑ vn ()sin tl x
nπ=1
∞ l
nat()−
= ⎡⎤lnf ()sinττπτdx sin
∑⎢⎥na∫0 n l l
n =1 ⎣⎦
最后得到原来非齐次定解问题的解是π
Uxt(,)= Vxt (,)+ Wxt (,)
非齐次方程的解法(续)
例题:考虑园环上定解问题
⎧∂∂22uu+=12(x22 −yaxyb ), 2222 ≤+≤
⎪∂∂xy22 ( )
⎨
u |0,|0==∂u
⎩⎪ xya222+= ∂n xyb222+=
解:(教材Page 39-41)
非齐次方程的解法(续)
习题:
Page 55-57
9,11,13,15