文档介绍：回归定义巧妙证题
□河北正定中学赵建勋
椭圆的定义不仅是推导方程的基础,,常从定义出发,寻求证题方法,为证题创造条件,兹举例如下:
例1 已知P(x0,y0)是椭圆(a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.
∵F1、F2为焦点,所以由椭圆定义知
|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r
∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)
连结OA,由三角形中位线定理,知
|OA|=
故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.
评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证.
例2 设P是椭圆(a>b>0)上的一点,F1、F2是椭圆的焦点,且∠F1PF2=90°,求证:椭圆的率心率e≥
证明∵P是椭圆上的点,F1、F2是焦点,由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a ①
在Rt△F1PF2中,
由①2,得
∴|PF1|·|PF2|=2(a2-c2) ②
由①和②,据韦达定理逆定理,知|PF1|·|PF2|是方程z2-3az+2(a2-c2)=0的两根,
则△=4a2-8(a2-c2)≥0,
∴()2≥,即e≥.
例3 P为椭圆(a>b>0)上的点,F1、F2是椭圆的焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求证:
证明由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∵
由正弦定理,得|PF1|=2Rsinβ,|PF2|=2Rsinα,|F1F2|=2Rsin(α+β)
例4 P是椭圆(a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,半短轴为b,且∠F1PF2=:△PF1F2的面积为
证明由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,又|F1F2|=2c.
在△PF1F2中,由余弦定理,得