文档介绍：椭圆的简单几何性质
一、知识点
通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的性质(范围、对称性、顶点、离心率),并能正确画出双曲线的图形。
二、能力训练点
结合对双曲线几何性质的讨论,进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法,加深对曲线与方程关系的理解,同时提高分析问题、解决问题的能力。
三、德育渗透点
进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用,提高解方程组的能力,通过“数”研究“形”,说明“数”与“形”存在矛盾的统一体中,通过对“数”的变化研究“形”的本质。
四、美育渗透点
通过双曲线标准方程来研究双曲线的几何性质,让学生感知数学来源于生活又服务于生活,是数学创造了美的世界、美的生活,通过对数的研究揭示了曲线的美的实质、美的真谛。
五、学法指导
类比椭圆几何性质的研究方法,自主探究双曲线的几何性质,即范围、对称性、顶点、离心率,并弄清它们的区别与联系。
对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,要重视渐近线的发现和论证过程,明确双曲线渐近线的作用,利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出它的两个顶点和渐近线,就能画出它的近似图形。渐近线方程的求法:只要将标准方程中的“1”改为“0”即可。
六、重点与难点
1、重点:双曲线的几何性质及其运用
2、难点:双曲线渐近线方程的导出和论证。
七、课时安排三课时
第一课时
●教学目标
,掌握双曲线的几何性质
、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程.
,探索新知识,培养学生学习数学的兴趣,探索新知识的能力及勇于创新的精神。
●教学重点
双曲线的几何性质
●教学难点
双曲线的渐近线
●教学方法
学导式
●教具准备
课件
●教学过程
一、情境设置
师:上一节,我们学习了双曲线的标准方程,这一节,,自己推出双曲线的几何性质,然后与课文对照,所以,我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.(利用几何画板)
二、探索研究
类比椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的几何性质
:
双曲线在不等式x≥a与x≤-a所表示的区域内.
:
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫双曲线中心.
:
双曲线和它的对称轴有两个交点A1(-a,0)、A2(a,0),它们叫做双曲线的顶点.
线段A1A2叫双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长;线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
⑴我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线;
⑵从图8—16可以看出,双曲线的各支向外延伸时,与直线y=±逐渐接近.
⑶“渐近线”的证明:
=>a).
设M(x,y)是它上面的点,N(x,Y)是直线y=上与M有相同横坐标的点,则Y=
.
设|MQ|是点M到直线y=bx/a的距离,则|MQ|<|MN|,当x逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x无限增大,|MN|接近于0,|MQ|,双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.
在其他象限内,也可证明类似的情况.
证二:如图8-16,设N为渐近线上与M(x0,y0)有相同横坐标的点,于是yN=bx0/a,
点M沿曲线向远处运动时,x0随着增大,|MN|逐渐减小,于是|MQ|也减小。
(上述内容用幻灯片给出).
⑷画图:解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题,从而可以准确地画出双曲线,比如画双曲线x2/16-y2/9=1。
利用双曲线的渐近线,:画出双曲线的渐近线,先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
⑸等轴双曲线:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
⑹已知双曲线的标准方程求渐近线方程的方法:
将标准方程x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)中的1换成0即可。
:
双曲线的焦距与实轴长的比e=,叫双曲线的离心率.
说明:①由c>a>0可得e>1;
②双曲线的离心率越大,它的开口越阔.
师:为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质,我们来看下面的例题.