文档介绍：双曲线的简单几何性质(一)
高二数学方蕾
教学目标:
、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.
,进一步反应了解析几何的特点,并用图像帮助理解双曲线的几何性质,解决一些相关问题.
,在老师引导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强他们的自信心.
教学重点:双曲线的简单几何性质
教学难点:渐近线的求法及理解
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、三角板
内容分析:
  本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后,反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质. 它是教学大纲中要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题,是数学中一个很大的课题,“椭圆的简单的几何性质”,教学中也可以与其类比讲解,主要应指出它们的联系与区别.
教学流程:
(一)复习引入
1. 双曲线的定义及其标准方程
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(大于0且小于)的动点的轨迹叫双曲线。即(0<2<)
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
(注:双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)
的关系:(符合勾股定理的结构),
,最大,可以
F1
F2
O
A1
A2
B2
x
M
B1

以为例
⑴范围:
⑵对称性:以坐标轴为对称轴,原点为对称中心
⑶顶点坐标:
长轴:线段长为2,叫做长半轴长
短轴:线段长为2,叫做短半轴长
⑷离心率:
探究:类比椭圆几何性质的研究,你认为应研究双曲线的哪些性质?应如何研究这些性质?
(二)新课讲解
利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质
以焦点坐标在轴上的标准方程为例,

由标准方程可得,即,当时,才有实数值,这说明双曲线在不等式与所表示的区域内;对于的任何值,都有实数值这说明从横的方向来看,直线之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线
:类比研究椭圆对称性的研究方法,容易得到,双曲线关于轴、轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,.

讲解:结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程中,令得,故它与轴有两个交点
,且轴为双曲线的对称轴,所以为其对称轴的交点,称为双曲线的顶点(一般而言,曲线的顶点均指与其对称轴的交点),而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴,它的长是2.
在方程中令得,这个方程没有实数根,说明双曲线和轴没有交点。但轴上的两个特殊点,这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴,它的长是,要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆
顶点:
实轴:线段长为2,叫做半实轴长
虚轴:线段长为2,叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,这是两者的又一差异

过双曲线的两顶点,作轴的平行线,经过作轴的平行线,四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是(或).