概率论与数理统计 (15).ppt

文档介绍：第三章第六节
随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念
两事件A,B独立的定义是:
若P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A,B独立.
设 X,,若对任意的x,y,有
则称X,Y相互独立.
两随机变量独立的定义是:
用分布函数表示,即
设 X,.,若对任意的x,y,有
则称X,Y相互独立.
它表明,,它们的联合
分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.
其中
是X,Y的联合密度,
几乎处处成立,则称X,Y相互独立.
对任意的 x, y, 有
若(X,Y). ,则上述独立性的定义等价于:
这里“几乎处处
成立”的含义是:
在平面上除去面
积为0的集合外,
处处成立.
分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度.
若(X,Y) ,则上述独立性的定义等价于:
则称X和Y相互独立.
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
解:
例 1
考察(书中)(即吸烟与得肺癌关系的研究)中随机变量X与Y的独立性.
P{X=0}P{Y=0}=
≠=P{X=0,Y=0}
∴X和Y不相互独立.
证明:
例2
设:(X ,Y )∼N(1,2,1,2 ,)
求证: X与Y独立=0
由
“”把=0代入
于是:
∴ X与Y独立
“”
∵X和Y相互独立∴(x,y)
f(x,y)= fX(x)fY(y)
对比两边∴=0
特别,取 x=u1 , y=u2 代入上式有
f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2)
即:
例3 设(X,Y)的概率密度为
问X和Y是否独立?
解:
x>0
即:
对一切x, y, 均有:
故X,Y 独立
y >0