文档介绍：第三章第七节
随机变量函数的分布
在第二章中,我们讨论了一维随机变量函数的分布,现在我们进一步讨论:
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题,然后将其推广到多个随机变量的情形.
当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时,如何求出它们的函数
Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m
的联合分布?
一、离散型分布的情形
例1 若X、Y独立,P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.
解:
=a0br+a1br-1+…+arb0
由独立
性
此即离散型
卷积公式
r=0,1,2, …
解:依题意
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为
的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为
的泊松分布.
由卷积公式
i=0,1,2,…
j=0,1,2,…
由卷积公式
即Z服从参数为的泊松分布.
r =0,1,…
设X和Y的联合密度为 f (x,y), 求Z=X+Y的密度.
解: Z=X+Y的分布函数是:
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z}
是直线x+y =z 左下方的半平面.
二、连续型分布的情形
化成累次积分,得
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得
变量代换
交换积分次序
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别,当X和Y独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
这两个公式称为卷积公式.
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
例3 若X和Y 独立,具有共同的概率密度
求Z=X+Y的概率密度.
解: 由卷积公式
也即