文档介绍：概率论与数理统计第6讲
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全概率定理和贝叶斯定理
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解由于B=AB+AB为二互斥事件之和
例5 市上供应灯泡中, 甲厂产品(A)占70%, 乙厂(A)占30%, 甲,乙厂的产品合格率分别为95%, 80%, B表示产品合格, 求总合格率P(B)
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还可以进一步计算, 如果买到一合格品, 此合格品是甲厂生产的概率P(A|B):
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例4 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后,设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签, 求乙抽到难签的概率P(B)解利用B=AB+AB, 且AB与AB互斥, 得
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从形式上看事件B是比较复杂的,
仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率. 于是先将复杂的事件B分解为较简单的事件AB与AB; 再将加法法则与乘法法则结合起来, 计算出需要求的概率. 把这个想法一般化, 得到全概率定理, 又称全概率公式.
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全概率定理如果事件A1,A2,…构成一个完备事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件B有
证由于A1,A2,…两两互不相容, 因此, A1B,A2B,…也两两互不相容. 且
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全概率定理的图形理解
如图所示, 事件B的面积为B与各个事件Ai相交的面积之和.

A1
A2
A3
A4
B
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用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问题, 一定是将试验分为两步做, 将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组A1, A2,…,An, 然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率, 最后用全概率公式综合
全概率定理解题的思路
试
验
1
试
验
2
…
A1
A2
An
B
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例6 12个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出3个用完后放回, 求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率
解假设A0,A1,A2,A3为第一次取到0个,1个,2个,3个新球, 当然, 因为一开始都是新球, 因此第一次只能取到3个新球, 即A3为必然事件, 而A0,A1,A2都是不可能事件.
再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中必然有3个旧球, 而B0,B1,B2,B3构成完备事件组,并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.
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