文档介绍：概率论与数理统计第14讲
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条件期望
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例1 两封信随机投向1,2,3,4四个信箱, x1,x2代表头两个信箱里的信数目, 求在第2个邮箱里有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数.
解因已经计算出
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对于二元离散型随机变量(x,h), 在x取某一个定值, 比如x=xi的条件下, 求h的数学期望, 称此期望为给定x=xi时h的条件期望, 记作E{h|x=xi}, 有
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对于二元连续型随机变量, 定义
其中j(y|x)及j(x|y)分别是在x=x条件下关于h的条件概率密度和在h=y条件下关于x的条件概率密度. 当然这个定义假定各式都是有意义的.
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方差、协方差
(一) 方差的概念
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先看两个例子设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为x1,x2(为简便起见, 假定它们只取离散值), 并有如下分布律.
则两炮有相同的期望值(Exi=90,i=1,2), .
x1
80
85
90
95
100
P

x2
85

90

95
P

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图示比较:
90
90
95
95
85
85
80
100
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又如有两批钢筋, 每批各10根, 它们的抗拉强度指标如下:
第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140
第二批: 90 100 120 125 130 130 135 140 145 145
它们的平均抗拉强度指标都是126, 但是, 使用钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一个指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量差.
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可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值)不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必须研究其离散程度. 通常人们关心的是随机变量x对期望值Ex的离散程度.
如果随机变量x的数学期望Ex存在, 称x-Ex为随机变量的离差.
显然, 随机变量离差的期望是零, 即
E(x-Ex)=0
不论正偏差大还是负偏差大, 同样都是离散程度大, 为了消除离差x-Ex的符号, 用(x-Ex)2来衡量x与Ex的偏差.
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