文档介绍：概率论与数理统计第17讲
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协方差的计算
在已知两个随机变量x和h的联合分布的情况下怎样计算它们的协方差cov(x,h)呢, 这一点书上并没有明讲.
cov(x,h)=E[(x-Ex)(h-Eh)]=
=E[xh-xEh-hEx+ExEh]=
=E(xh)-ExEh-EhEx+ExEh=
=E(xh)-ExEh
即相乘的均值减去均值的相乘.
其中Ex和Eh是通过边缘分布计算的, 因此关键是如何计算E(xh).
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对于离散型随机变量, 假设x,h的概率函数为P(x=xi,h=yj)=pij, (i,j=1,2,...),则
对于连续型随机变量, 假设x,h的联合概率密度为j(x,y), 则
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例假设x,h的联合概率函数如下表所示
x h
0
1/3
1
-1
0
1/12
1/3
0
1/6
0
0
2
5/12
0
0
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而x与h的边缘分布及数学期望为:
x
-1
0
2
P
5/12
1/6
5/12
h
0
1/3
1
P
7/12
1/12
1/3
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在研究任何连续型随机变量的概率密度函数j(x)的时候, 通常可将其表示为j(x)=kf(x)的形式, 其中f(x)表示了j(x)的形状, 而系数k的作用则是为了保证j(x)的性质
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因此我们在研究不同类型的连续型随机变量时, 焦点放在它的形状函数f(x)上
x
f(x)
面积为s
x
j(x)=f(x)/s
面积为1
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例如, 假如我们知道了一随机变量的概率密度的形状函数为f(x)=e-lx,(x>0, l>0), 我们就已经知道它是服从指数分布了, 则j(x)=kf(x), 而k不难求得为
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G-分布
所谓G-分布的概率密度函数的形状是这样的, 它在x0时取0值, 而在x>0时为x的某次方乘上指数函数e-lx, 即它的形状函数f(x)=xae-lx,
但通常令其中的参数a=r-1, 即r=a+1, 即将f(x)写成f(x)=xr-1e-lx的形式, 这虽然只是一个人为的规定, 但是有一个好处就是, 后面我们将证明, G-分布的数学期望为l-1r,
方差为l-2r, 且两个l参数相同的都服从G-分布的随机变量的和也服从G-分布, 和的分布中的r参数正好是两个随机变量的r参数之和.
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因此, 如随机变量x服从G-分布, 则它的概率密度函数为j(x)= kxr-1e-lx, (x>0)的形式, 下面求常数因子k.
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