文档介绍：概率论与数理统计 第二讲
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第二章随机变量及其分布
随机变量的概念
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再谈试验及样本空间
一次随机试验的所有可能的试验结果所构成的集合被称作样本空间, 而每一个可能的试验结果构成样本点. 样本点的集合A称作事件, 只包含一个样本点的集合{}被称作基本事件.
请注意, 这里的试验结果实际上是一次试验的全过程的记录, 因此和我们原来的印象中的试验结果并非一样, 并非试验结束时候的那个结果.
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例如, 假设一场足球赛是一个试验
那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记录, 可以认为记录着整场球赛的录象带是一个试验结果, 而非比赛结束时候的比分是试验结果.
因此, 象{比赛的头五分钟有球队进球}, {上半场甲队领先}, {第三十分钟到三十四分钟期间有一次角球}, {前十五分钟有人被罚下场}都是事件, 它们都是由一系列可能的试验结果构成.
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因此, 样本空间是一个非常抽象的集合
从理论上讲它可以是任何集合. 但这对于研究带来了许多不方便.
而数学上则更喜欢研究实数集合.
一方面, 样本空间本身也可能就是实数集合或者其子集.
另一方面, 可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射, 即每给定一个实验结果或者样本点, 存在着唯一的一个实数()与之对应. 这样就建立了一个自变量为而函数值则为实数的一个特殊的"函数". 我们称之为随机变量.
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这可以用下图来示意
此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数a,b,c的一种映射. 注意1和2映射到同一个实数b, 这是一种常见的情况.
x
a
b
c
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从样本空间到实数的映射方法有许多种,
每一种映射方法, 被称为一个随机变量. 一般用希腊字母x,h, z或大写拉丁字母X,Y,Z等表示.
通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射到实数集合. 而也有一些试验的结果干脆就是数字, 即样本空间本来就是实数.
当我们看到一个随机变量x时, 可以想到一种在实数轴上进行的随机试验, 每次试验的结果的样本空间就是实数集合, 每一次试验都将产生一个具体的实数, 但具体产生哪个实数不可预知.
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一些随机变量的例
(1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用x表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值.
(2) 某段时间内候车室的旅客数目记为x, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自然数, M为候车室的最大容量.
(3) 单位面积上某农作物的产量x是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即x[0,T], T是一个常数.
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给定一随机变量x, 它有可能取某些值, 而没有可能取另一些值. 因此可按取值情况将随机变量分为两类:
(1) 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值.
(2) 非离散型随机变量可能取任何实数.
而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量.
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随机变量的分布
离散型随机变量的分布
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