文档介绍：积分变换第1讲
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积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
t
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数
sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
t
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点
2, 只有有限个极值点
这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例:
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个函数f和g的内积定义为: