文档介绍：本章学习目标
1了解复变函数积分的概念;
2了解复变函数积分的性质;
3掌握积分与路经无关的相关知识;
4熟练掌握柯西—古萨基本定理;
5会用复合闭路定理解决一些问题;
6会用柯西积分公式;
7会求解析函数的高阶导数.
复变函数的积分
复变函数积分的概念

本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。

1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑)
曲线时,积分是一定存在的。
2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
积分的性质
从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质,它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.
,曲线的内部始终位于曲线的左方,,如无特别声明,总是指曲线的正向.
积分的性质
1
2
3
4
例1计算其中为从原点到点的直线段。
解直线的方程可写成
又因为
容易验证,右边两个线积分都与路线无关,所以的值无论是怎样的曲线都等于
例2计算其中为以中心, 为半径的正向圆周, 为整数.
解: 的方程可写成
所以
因此
例3计算的值,其中为沿从(0,0)到(1,1)的线段:
解:
例4计算的值,其中为沿从(0,0)到(1,1)的线段与从(1,0)到(1,1)的线段所连结成的折线。
解:
柯西—古萨(Cauchy—Goursat)基本定理
积分与路经无关问题
积分的值与路经无关,或沿封闭的曲线的积分值为零的条件,可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.
柯西—古萨(Cauchy—Goursat)基本定理如果函数在单连域内处处解析,那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即