文档介绍：第四章平面( )和空间( )中的向量
向量的类型
平面和空间中的向量运算
平面和空间的向量空间
欠定方程在和中的解空间
平面上的线性变换
应用实例
习题
向量的类型
物理向量:向量这个术语起源于物理,用以表示既有大小又有方向的物理量,如力,位移和速度等。那些只需用一个实数来表示的物理量,如温度、压力和质量等就称为标量。广义地说,向量要用两个或两个以上的实数组成的数组来表示其特征,比如它的大小和方向。
几何向量:把平面上的物理向量的箭尾A的坐标值取为( , ),而把箭头所处的点B的坐标值取为( , ),联接A点到B点的箭头就称为几何向量。用下式表示:
A称为向量的起点,而B称为向量的终点。这样的几何向量,要用, , , 四个实数才能表示。把向量的箭尾A移到原点,这时的向量作用线通过了原点,称为位置向量。
向量和位置向量
代数向量:把平面中的几何向量v用它在x和y 两个方向的分量和来表示,写成表示式:
这就是平面中的向量代数表示方法。粗看起来,它与几何向量的表示法没有太大的差别,但到了三维以上,几何向量将失去意义,而代数向量可以无限地扩展,从而满足工程和经济模型分析的需要。从几何到代数,也就是从三维向高维抽象的线性代数方法论。
设
要求画出这两个向量的图形。
解:u和v都是二维空间的列向量。可以用平面坐标系中的两个点,或从坐标原点引向这两点的箭头来表示。用手工画是很容易的,也可以用MATLAB程序来画,。
,可表示为程序ea401:
u=[2;4]; v=[3;-1];
plot([2,3],[4,1],’x’);hold on% 用x号画出两个点
% 若装有ATLAST中的子程序drawvec,可画向量如下
drawvec(u);hold on % 画出向量u
drawvec(v,’g’);hold off,grid on % 画出向量v
二维空间中的向量
平面和空间( )中的向量运算
向量的加减
则
向量的相加和相减
向量的数乘
用代数方法表示,设乘数λ为标量,便有若
则
在直角坐标系中,向量的几何长度表示为
经过数乘后的向量几何长度也为原几何长度的数乘:
向量与向量的数量积
两向量u和v的数量积定义为
其中θ为两个向量之间的夹角,。
向量数量积的三角关系