文档介绍：第一篇复变函数论
复变函数
微分和积分
泰勒展开和洛朗展开
留数定理
傅立叶变换
拉普拉斯变换
z
y
x
1
1
O
第一章复变函数
代数表示: x ,y 为实数,i 为单位虚数,则
且 x 为其实部,y 为虚部,记
. 复数
为复数
且
和
主值
复共轭
又称为模
其它概念
x 轴为实轴,y 轴为虚轴,构成复数平面复数 z 为此平面上的一点
几何表示
从几何上看,复数又是此平面上的一个矢量
为矢量长度
为幅角
记
复数的运算
加法
减法
乘法
除法
幂(n整数)
根
逼近
测地投影和无限远点
如左图,一球的南极与复数平面的原点相切,平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连,直线与球相交于 A’。由此,每一有限的复数投影到球上一点。这个投影叫测地投影,这个球叫复数球。
所有的无穷大复数(平面上无限远点)投影到唯一的北极 N。故我们为方便,将无穷远点看作一个点。其模无穷大,幅角无意义。
复数 z 是两个独立变量(x, y) 的集合。
它在数值计算中是一个整体,服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则;
它可以看作具有两个独立分量的量来表示(矢量)和计算。
小结
. 复变函数
比较与实变函数相对应的定义
实函数:
x
x
定义域、值域
y=f(x)
y=f(x)
复函数
定义域
值域
定义在复平面上一点集 E 中每一点,都有一个或几个复数与之对应,称为 z 的函数,E 为定义域,
记
定义域
值域
E
实函数:
定义: 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x ,都有唯一的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数的定义域,记。
连续,可微:
n 次可微
无限可微
邻域
区域 B 的内点
外点
境界点
境界线
区域
内点组成的连通集合
闭区域
区域和境界线的全体
全体境界点的集合
不是内点,也不是外点的点。
z 和它的邻域都不属于 B, 则 z 为 B 的外点。
z 和它的邻域都属于 B, 则 z 为 B 的内点。
复平面上圆内点的集合
几个概念
z
z
r
区域