文档介绍：第一节 n维欧氏空间
第二章 n 维空间中的点集
⒈度量空间
定义:设X为一非空集合,d : X×X→R为一映射,且满足
⑴ d(x,y)≥ 0,d(x,y)=0当且仅当x = y(正定性)
⑵ d(x,y)=d(y,x) (对称性)
则称(X,d)为度量空间.
⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)(三角不等式)
例:
⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数全体), 其中
⑴欧氏空间(R n , d),其中
⑵离散空间(X , d),其中
⒉欧氏空间中各类点的定义
接触点、聚点
不一定属于E
孤立点一定属于E
点P0的δ邻域:
P0为 E的接触点:
P0为 E的聚点:
P0为 E的孤立点:
记为 E的闭包(接触点全体)
记为 E的导集(聚点全体)
欧氏空间中各类点的定义
边界点不一定属于E
内点一定属于E
P0为 Ec的内点:
P0为 E的内点:
P0为 E的外点:
P0为 E的边界点:
记为 E的内部(内点全体)
记为 E的边界(边界点全体)
注:接触点、聚点、边界点不一定属于E, 内点、孤立点一定属于E。
例(1)令 E = Q , 则
(2)令E={1,1/2,1/3,…,1/k,…},则
对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。
接触点、聚点表示它与集合紧挨
内点表示它周围的点都在集合内
由定义可知
外点、接触点、内点的关系
P0为 E的接触点:
P0为 E的内点:
P0为 E的外点:
例设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点.
这与(*)矛盾,
所以为无限集。
证明:由条件知
P0 δ
Pn
例 E中的孤立点集或为有限集或为可数集。
这与(*)式矛盾,
所以是一簇两两不交的开区间,
从而A至多可数。
证明:设A为孤立点集, ,由孤立点
的定义知
⒊聚点的等价描述
证明: 显然,下证
定理:下列条件等价:
(1) p0为E的聚点

(3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得
P0 δ
Pn
定义:称点列{pn} 收敛于p0 , 记为:
(2)点p0的任意邻域内,含有无穷多个属于E而异于p0的点