文档介绍：练习
,下列方程的图形是什么形状?
(1) x 2 + 2y 2 = 4z(椭圆抛物面) (2) x 2 + y 2 = 4z 2 (圆锥面)
x 2 y 2 z 2
(3) + + = (1 椭球面) (4) x 2 + z 2 = (1 圆柱面)
4 16 9
:
(1) z = − x − y
y ≥ 0
解:
x − y ≥ 0
y ≥ 0
即 x ≥ 0
2
x ≥ y
函数的定义域为{(x, y |) x ≥,0 y ≥,0 x 2 ≥ y}
(2) z= e3 x+ y + x − y
解:∵ x− y ≥ 0 ,∴函数的定义域为{(x, y |) x − y ≥ 0}
¡ ¢
x − y  
3. 对于函数f (x, y)= ,证明 lim f (x, y)
x + y x→0
分析:由二元函数极限定义,我们只须找到沿不同路径→
p p 0 (0,0)
时,所得极限值不同即可。
¤ ¥ ¦ § ¨ © §
证明: ①£ ≠=
p( x , y ) x ( x 0, y 0) p 0 (0,0)
f (x, y) = f (x )0, = lim,1 f (x, y) = 1
x→0
y→0
②当 p(x, y)沿直线y = kx (x ≠)0 趋于(0,0)时,
x − kx 1− k
f (x, y) = = ≠(1 k ≠)0
x + kx 1+ k
综合①②可知函数极限不存在。
练习
∂z ∂ z
① z= x3 y − xy 3 ,求,
∂x ∂ y
∂z ∂z
解: = 3x 2 y − y 3 , = x3 − 3xy 2
∂x ∂y
∂z ∂ z
② z= ln( xy ),求,
∂x ∂ y
∂z 1 −1 1 1
解: = [ln( xy ) ] 2 . .y =
∂x 2 xy 2x ln( xy )
∂z 1 −1 1 1
= [ln( xy ) ] 2 . .x =
∂y 2 xy 2y ln( xy )
∂ 2z ∂ 2z
③ z = xln( x + y), 求,
∂x 2 ∂x∂y
∂z 1
解: = ln( x + y) + x.
∂x x + y
∂ 2z ∂∂z ∂ x 1 x + y − x x + 2y
= ( ) = (ln( x + y) + ) = + =
∂x 2 ∂x ∂x ∂x x + y x + y (x + y)2 (x + y)2
∂ 2z ∂∂z ∂ x 1 0 − x y
= ( ) = ln( x + y) + = + =
∂x∂y ∂y ∂x ∂y x + y x + y (x + y)2 (x + y)2
∂ 3u
④u= e xyz ,求
∂x ∂ y ∂ z
∂u ∂ 2 u
解: =yzexyz, = ze xyz + yzxze xyz = ( z + xyz z ) e xyz
∂x ∂ x ∂ y
∂ 3u ∂∂ 2u ∂
= ( ) = (z + xyz z )2 e xyz = (z + 2xyz )e xyz + (z + xyz 2 )xye xyz
∂x∂y∂z ∂z ∂x∂y ∂z
=e xyz 1( + 2xyz + xyz + x 2 y 2 z 2 ) = e xyz 1( + 3xyz + x 2 y 2 z 2 )
2 f 1,2( + ∆y) − f )1,2(
f (x, y) = e xy ,则 lim
∆y→0 ∆y
2
f(2,1+ ∆ y ) − f (2,1) e 2(1+∆ y ) 0
解: lim= lim (未定式)
∆y →0 ∆y∆y → 0 ∆ y 0
2
e2(1+∆ y ) (2+ ∆ y ) ⋅ 1 − 0
= lim
∆y → 0 1
= 4e2
= + + 2 + 3 在点(,,)处求+ +
u ln( 1 x y z ), 111 ux u y u z
1
解:u =
x 1+ x + y 2 + z 3
2y
u =
y 1+ x + y 2 + z 3
3z 2
u =
z 1+ x + y 2 + z 3
1 2 3 3