文档介绍：第五章不定积分
(The indefinite integration )
第十二讲原函数及不定积分
课后作业:
阅读:第五章 : pp124---125; : pp125---129; : pp131---132;
预习:第五章 : pp135---137; : pp138---141; :pp. 143---149
练习 ---131: 习题 : 1; 3; 4; 7中的单号题; 10; 11.
---134: 习题 : 1, 2,3,4各题中的单号题; 6; 7; 9.
作业 ---131: 习题 : 2; 5; 6; 7中的双号题; 8; 9; 12.
---134: 习题 : 1, 2,3,4各题中的双号题; 5; 8; 10; 11.
引言:
运算与其逆运算;
问题与其反问题。
5-1 原函数和不定积分
5-1-1 原函数概念及性质
(一) 原函数概念
定义如果在某区间上恒有, 则称是
在区间上的一个原函数.
例如, 在区间,是的一个原函数;
在区间,是的一个原函数.
在区间,,是的一个原函数;
也是的一个原函数等等.
因, 可知:
是在上的原函数, 也是在
上的原函数
注:一个函数在某区间I上是否存在原函数,这有侍下一章研究,但有一个重要结论:在一区间上连续的函数一定有原函数。
(二) 原函数的性质
性质一:都是在区间上的原函数,则存在常数,
,同一函数的两个原函之间只
差一个常数。
证明: 是在区间上的两个原函数
.
性质二:若都是在区间上的一个原函数, 则
函数集合是的所有原函数。
证明: 首先, ,
, ;
再者,
,
.
重要结论: 若在区间上存在原函数,则在区间
上的所有原函数都可以写成的形式.
5-1-2 不定积分概念及性质
不定积分定义: 如果在区间上存在原函数,则所有原函
数的集合, 称为在区间
:
(二) 不定积分的性质
性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算:即
(1) 若有原函数,
则, .
(2)若, 可导, 且导函数连续, 则
,
定理: (不定积分运算的线性性) 若有原函数,则
(1)
(2)若,则
例1: 在区间,是的原函数, ;
在区间,是的原函数,;
例2:设,求在区间上的不定积分.
解: 在区间上, 是的所有原函数;
在区间上,
函数在区间内可导,当然连续, 由此条件可知,只有当:
时,
在区间才连续可微, 且处处有.
因此,
5-1-3 基本积分表
由于求不定积分是求微分的逆运算,因此任何一个微分公式,反过来就是一个求不定积分的公式。
(一) 基本积分表
以下是基本初等函数微分公式变来的,称为基本积分表.
(1)
(2)
(3) ()
(4)
(5) , (
(6) , (
(7) ,
(8) ,
(9