文档介绍：§2 函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1);     2);     3);
4);   5);   6)。
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。
(唯一性)若极限 存在,则此极限是唯一的。
证  设、都是当时的极限,则对任给的,分别存在正数与,使得当
时有
                               (1)
当时有
                                (2)
取,则当时,(1)式与(2) 式同时成立,故有
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。
(局部有界性) 若极限 存在,则在某空心邻域内有界。
证  设。取,则存在,使得对一切有
。
这就证明了在内有界。
(局部保号性)若(或),则对任何正数(或),存在
,使得对一切 有
(或)。
证设,对任何,取,则存在,使得对一切有
,这就证得结论。对于的情形可类似地证明。
(保不等式性)设 与都存在,且在某邻域 内有,则
。                          (3)
证设,,则对任给的,分别存在正数与,使得当时
                           (4)
当 时有
                            (5)
令,则当时,不等式 与(4),(5)式同时成立,于是
有,从而。由的任意性得,即(3)式成立。
(迫敛性)设==,且在某内有
                 (6)
则。
证按假设,对任给的,分别存在正数 与,使得当时
                        (7)
当时有
                           (8)
令,则当时,不等式(6)、(7)、(8)式同时成立,故有
,由此得,所以。
(四则