文档介绍：§3 函数极限存在的条件
与讨论数列极限存在的条件一样,我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只
对 这种类型的函数极限进行论述,但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有
时成为海涅(Heine)定理。
(归结原则)设 在 内有定义。 存在的充要条件是:对任何含于
  且以为极限的数列,极限 都存在且相等。
证  [必要性]  设,则对任给的,存在正数,使得当 时,
有。
另一方面,设数列且,则对上述的,存在,使得当 时,
有,从而有。这就证明了。
(充分性) 设对任何数列且,有,则可用反证法推出
事实上,倘若当时不以为极限,则存在某,对任何(不论多么小),总存在
一点,尽管,但有。现依次取,,,…,,…,则存在
相应的点,,,…,…,使得,而,。
显然数列 且,但当时不趋于。这与假设相矛盾,所以必
有。
注1  归结原则也可简述为:
对任何()有。
注2          若可找到一个以为极限的数列,使不存在,或找到两个都以为极限的数列
注3          与,使   与 都存在而不相等,则 不存在。
例1  证明极限 不存在。
证  设,(),则显然有
,()
,()。
故有归结原则即得结论。
函数的图象如图3-4所示。由图象可见,当时,其函数值无限地在-1与1的范围内振
荡,而不趋于任何确定的数。
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而,我们能应用归结原则和数列极限的有
关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。
对于,,和这四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的
形式,现以这种类型为例阐述如下:
。的充要条件是:对任何以
为极限的递减数列,有。
,但在运用反证法证明充分性时,对的取法要作适当的修改,
以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。
相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下:
,则右极限存在。
证  不妨设在上递增。因在上有界,由确界原理,存在,记为。
下证。
事实上,任给,按下确界定义,存在,使得。取,则由
的递增性,对一切=,有
另一方面,由,更有。从而对一