文档介绍：章节题目
第三节、微积分基本公式
内容提要
积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质
牛顿—莱布尼茨公式
重点分析
利用微积分基本公式求定积分
难点分析
和积分上限函数有关的计算
习题布置
:2、3、4、5(1)(3)、6(单)、9、10、11
备注
教学内容
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的一个连续函数,且,,另一方面这段路程可表示为

二、积分上限函数及其导数
设函数在区间上连续,并且设为上的一点,考察定积分

如果上限在区间上任意变动,则对于每一个取定的值,定积分有一个对应值,所以它在上定义了一个函数,记积分上限函数
积分上限函数的性质
定理1 如果在上连续,则积分上限的函数在上具有导数,且它的导数是
证明:

由积分中值定理得

补充
如果连续,、可导,则的导数为

证
例1 求
分析:这是0/0型不定式,应用洛必达法则.
解:

例2 设在内连续,.
证明:

故在内为单调增加函数.
例3 设在上连续,.
证明:令
在上为单调增加函数.
所以即原方程在上只有一个解.
定理2(原函数存在定理)
如果在上连续,则积分上限的函数就是在上的一个原函数.
定理的重要意义:
(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.
(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3(微积分基本公式)
如果是连续函数在区间上的一个原函数,则。
证已知是的一个原函数,
又也是的一个原函数,