文档介绍：§ 反常积分
一、无穷区间上广义积分
定义时要求(i) [a, b]为有限区间; (ii) f (x)为有界函数. 不满足上述两条件之一的积分称为广义积分(反常积分). 相对于广义积分而言, 以前的积分称为常义积分.
定义设 f : [a, +)  R, 且b > a, f R[a, b], 称为f 在[a, +)上的广义积分(无穷积分). 记作
若, 则称收敛(且收敛于A), 否则称发散.
当且仅当上式右端和同时独立收敛时, 称收敛, 否则称之为发散.
①牛—莱公式若f (x)C[a, +), 且F(x) = f (x), 则
②积分方法(换元法, 分部积分法)仍然有效.
几何意义当 f (x)  0时,
表示x轴, x = a及y = f (x)所围图形
的面积, 当收敛时, 面积
有限, 否则面积为正无穷大.
O
x
y
a
y = f (x)
二、无界函数的广义积分
定义设f : [a, b)  R, 且在b的任意邻域无界(b称为f (x)的奇点). 若> 0, f (x)R[a, b], 则称为f (x)在[a, b)上的广义积分, 记作
当时, 称收敛(且收敛于A, 或值为A), 否则称之发散.
类似地, 当a为 f (x)的奇点时, 定义
当c(a, b)为 f (x)的奇点时, 定义
当且仅当右端同时独立收敛时, 称左端收敛.
解 x = 0为奇点.
解 x = 0为奇点.
所以原广义积分发散.
③此例要避免犯“奇函数在对称区间积分为0”的错误.
④积分法和牛—莱公式仍然有效, 不过在奇点处取值换成取极限.
所以x = 1是奇点, x = 0不是奇点.
上限/2应理解成(/2)–.
解 x = a为奇点. 当p  1时.
几何意义设 f (x)  0时, 且b是奇点,
表示y = f (x), x = a, x = b及
x轴所围图形的面积, 当收敛
时, 面积有限, 否则面积为正无穷大.
y
O
x
a
y = f (x)
b