概率论与数理统计第6讲.ppt

文档介绍：概率论与数理统计第6讲
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§4 相互独立的随机变量
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定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有x,y有 P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}, ()即 F(x,y)=FX(x)FY(y), ()则称随机变量X和Y是相互独立的.
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设(X,Y)是连续型随机变量, f(x,y), fX(x), fY(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和Y相互独立的条件()等价于 f(x,y)=fX(x)fY(y) ()几乎处处成立.注: 此处"几乎处处成立"的含义是: 在平面上除去"面积"为零的集合以外, 处处成立.
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当(X,Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立的条件()式等价于: 对于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有 P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}. ()
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例如§1例2中的随机变量X和Y, 由于
故有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 因而X,Y是相互独立的.
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又如, 若X,Y具有联合分布律
Y X
0
1
P{Y=j}
1
1/6
2/6
1/2
2
1/6
2/6
1/2
P{X=i}
1/3
2/3
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则X,Y也是相互独立的.
再如§2例1中的随机变量F和D, 由于P{D=1,F=0}=1/10P{D=1}P{F=0}. 因而F和D不是相互独立的.
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二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为
其边缘概率密度fX(x),fY(y)的乘积为
易证X和Y独立的充要条件是r=0.
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例一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为
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因为X,Y相互独立, 故(X,Y)的概率密度为
按题意需要求概率P{|X-Y|1/12}. 画出区域: |x-y|1/12, 以及长方形[8<x<12; 7<y<9], 'B',记为G. 显然仅当(X,Y)取值于G内, 他们两人到达的时间相差才不超过1/12小时. 因此, 所求的概率为
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