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基础部分
第一课微积分
第 2 章函数的极限与连续函数
函数的极限概念
函数在无穷远处的极限
在掌握好数列极限的概念与方法的前提下,可以顺利地学好函数的极限,只需要注意在
函数极限问题里,自变量的趋向应包括以下 6 种情况:
−+
x → x0 , x → x0 , x → x , x →+∞, x →−∞, x →∞。
掌握好函数极限的概念与方法,是进一步为学习函数连续性、导数等后续概念的重要基
础。
定义 设函数 y = f (x) 在区间(a, + ∞) 内有定义, ∀ε> 0 ,若存在某个常数 A 与
X > 0 ,使当 x > X 时恒有 f (x) − A < ε,则称 y = f (x) 当 x 趋于正无穷大时的极限为
A ,或收敛于 A 。记为 lim f (x) = A。
x→+∞
若在上述的常数 A = 0 ,则称 f (x) 是当 x 趋于正无穷大时的无穷小量。若上述定义中
的 A 不存在,则称 f (x) 当 x 趋于正无穷大时的极限不存在,或发散。
注:上述定义的几何意义与数列极限香类似。
定义 设函数 y = f (x) 在区间(a, + ∞) 内有定义, ∀G > 0 ,若存在某个常数 A 与
X > 0 ,使当 x > X 时,恒有 f (x) > G ,则称 f (x) 是当 x 趋于正无穷大时的无穷大量。
记为 lim f (x) = ∞。
x→+∞
当然,还有有如下的两种情况:
lim f (x) = +∞( f (x) > G )与 lim f (x) = −∞( f (x) < −G )
x→+∞ x→+∞
类似上述两个定义,可给出 x →−∞时 f (x) 的极限与 f (x) 为无穷大量的定义。读
者可练习给出下列 x →−∞时的极限与无穷大量的定义描述:
lim f (x) = A, lim f (x) = ∞ lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞。
x→−∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞
定义 设函数 y = f (x) 在区间(−∞, + ∞) 内有定义,若存在某个常数 A 与 X > 0 ,使
当 x > X 时,恒有 f (x) − A < ε,则称 y = f (x) 当 x 趋于无穷大时的极限为 A ,或收敛
于 A 。记为 lim f (x) = A。
x→∞
若在上述的常数 A = 0 ,则称 f (x) 是当 x 趋于无穷大时的无穷小量。若上述定义中
的 A 不存在,则称 f (x) 当 x 趋于无穷大时的极限不存在,或发散。应特别注意,这里 x 以
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双向方式趋于无穷大。
类似前面的定义,还可以给出当 x (双向)趋于无穷大时, f (x) 为无穷大量的三种描
述,即正无穷大量,负无穷大量和(双向)无穷大量。请读者完成这些练习。
函数在一点处的极限
*
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的去心邻域 N (x0 ,δ) = {x 0 < x − x0 < δ,δ> 0}
内有定义,若∀ε> 0 ,都存在某个常数 A 与δ 0 > 0 (δ 0 < δ),使当 0 < x − x0 < δ 0 时,
恒有 f (x) − A < ε,则称 y = f (x) 当 x 趋于 x0 时的极限为 A ,或收敛于 A 。记为
lim f (x) = A 。
x→ x0
若在上述的常数 A = 0 ,则称 f (x) 是当 x 趋于 x0 时的无穷小量。若上述定义中的 A
不存在,则称 f (x) 当 x 趋于 x0 时的极限不存在,或发散。
定义 设函数 y = f (x) 在区间(x0 , x0 + δ) (δ> 0 )内有定义,若∀ε> 0 ,都存在
某个常数 A 与δ 0 > 0(δ 0 < δ),使当 0 < x − x0 < δ 0 时,恒有 f (x) − A < ε,则称 f (x)
当 x 趋于 x0 时的右极限为 A ,记为
lim f (x) = A 。
+
x→x0
而当函数 y = f (x) 在区间(x0 −δ, x0 ) (δ> 0 )内有定义,若∀ε> 0 ,都存在某个