文档介绍：二重积分的概念和性质
在一元函数积分学中,我们已经知道,定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限,由于科学技术和生产实践的发展,需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等,定积分已经不能解决这类问题,另一方面,从数学逻辑思维的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广,从而提出了多元函数的积分学问题。
当人们把定积分解决问题的基本思想——“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来,就得到多元函数积分学。
具体地说就是推广到:定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数,从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。
本章将讨论重积分,包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。
重点:重积分的计算方法,交换累次积分次序。
难点:选择坐标系,确定积分次序,定积分限。
基本要求
①理解重积分概念,了解其基本性质
②熟练掌握重积分的计算方法
③掌握累次积分的换序法
④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元
⑤理解重积分的实际背景,能用重积分解决立体体积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。
一、问题的提出

柱体体积=底面积×
高
特点:平顶.
柱体体积=?
特点:曲顶.
曲顶柱体
求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,如下动画演示.
步骤如下:
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
顶柱体的体积,
先分割曲顶柱体的底,并取典型小区域,
曲顶柱体的体积

将薄片分割成若干小块,
取典型小块,将其近似
看作均匀薄片,
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
二、二重积分的概念
积分区域
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
积分和
对二重积分定义的说明:
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积.
当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值.
由二重积分的定义可知
若二重积分
存在