文档介绍：课题:
函数极限
目的要求:
了解,时函数有极限的概念
掌握函数极限的充要条件
掌握函数极限的性质
进一步掌握极限的定义
教学重点:
函数极限定义与应用
教学难点:
函数极限定义与应用
教学课时:2
教学方法: 讲练结合
教学内容与步骤:
前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然数, =f (x)的极限, 自变量x大致有两种变化形式. (1) x®¥, (2) x®x0 (有限数). 并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的.
一,时函数的极限
时或时函数的极限:
设f (x)在(M, +¥) (或(-,¥-M))内有定义, 若"e >0, $X >0, 当x>X (或x<-X)时, 相应的函数值f (x)满足| f (x)-a |< (x)当x®+¥(或x®-¥)时的极限, 记作:
也可记为 f (x)®a, (x®+¥)
也可记为 f (x)®a, (x®-¥)
此时也称当x®+¥(x®–¥)时, f (x)的极限存在. 否则, 称它的极限不存在
函数极限::若"e >0, $X >0, 当x>X (或x<-X) 时, 有|f (x)-a |<e.
数列极限::若"e >0, $正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn-a|<e,
注:将这个定义和数列极限定义相比较, 就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“$正整数N”换成“$实数X >0”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的.
例: 由图可知: ;. 类似于:1/N->0(Nà-∞)
由图可知.
例, 证明:
证: 由于,故,要使,只要,即,因此,, 可取,则当x>X时, ,故由定义得:
练习:证明:
注:x<lg,可取X= |lg|+1,当x<-X时,满足极限定义。
定义设函数在时有定义( M为某个正实数),,当时,相应的函数值满足,则称a为 f (x)当x¥®时的极限,记为或.
几何意义:
时:
直观地,该极限表示当自变量 x 无限增大时, 曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标f (x)会无限接近于数a. 从而曲线 y = f (x)会越来越贴近直线 y=a . 即, 当x无限增大时, 曲线 y = f (x)以直线 y=a为渐近线
极限定义:
:任作直线 y = a±e. ("e > 0), 都存在X > 0. 当 x > X 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间.
时:
按定义,作直线 y = a±e. ("e > 0), 存在X > 0. 当| x | > X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a±e 之间.
由定义1,2,3知:
定理1 的充要条件是=.
练习:证
解:方法一,=,
方法二,,要使|1/x|<,只要|x|>1/,取X=1/即可
练习:证明
二,时函数的极限
引例从函数图形特征观察函数的极限
如上图左:当时,无限接近2;
如上图右:当时,无限接近于2.
函数与是两个不同的函数,前者在处有定义,,当时,,的极限是否存在与其在处是否有定义无关.
邻域