文档介绍：课题:
凹凸性与拐点
目的要求:
掌握函数曲线的凹凸性及其判别法
掌握渐近线的分类及其求法
掌握函数曲线图的作图过程
教学重点:
掌握函数曲线图的作图过程
教学难点:
掌握函数曲线图的作图过程
教学课时:
教学方法:讲练结合
教学内容与步骤:
曲线的凹凸性及其判别法
定义:函数y=f(x)在区间I内连续,若对I内任给两点x1,x2,恒有:
,则称f(x)在I上的图形是凹的;
如果恒有:,则称f(x)在I上的图形是凸的;
区间I称为凹区间(或凸区间)
画图:可以看出曲线段是凹的;曲线段是凸的
其它定义形式: 若在某区间内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方,则称曲线段在内是向凹的(简称上凹,也称凹的),称为凹区间;若曲线段总位于其上任一点处切线的下方,则称该曲线段内是凸的(简称下凹,也称凸的).称为凸区间
定理1 设函数 y=f(x)在开区间内具有二阶导数
(1)若在内,则曲线在内是凹的;
(2)若在内,则曲线y=f(x)在上是凸的.
若把定理1中的区间改为无穷区间,结论仍然成立.
证:令,则由泰勒公式有:
显然:
当时,>0,有:,图形是凹的
例判定曲线y=lnx的凹向.
解函数y=lnx的定义域为, ,,当x>0时,,故曲线y=lnx在内是向下凹的.
拐点及其求法:
定义若连续曲线 y=f(x)上的点 p是曲线向上凹与向上凸的分界点,则称 p是曲线y=f(x)的拐点.
由于拐点是曲线凹向的分界点,,曲线拐点的横坐标,=f(x)拐点的步骤:
(1) 先求出,找出在内使的点和不存在的点;
(2) 用上述各点按照从小到大依次将分成小区间,再在每个小区间上考察的符号;
(3) 若在某点两侧近旁异号,则是曲线y=f(x)的拐点,否则不是.
例判断曲线的凹凸性
解因为的定义域为,且, ,
令,得x==0将分成两个小区间: 和.
当时,, 曲线凸的.
当时,,曲线上凹.
所以,点为曲线的拐点.
练习:求曲线经的拐点与凹凸区间
,,凹, (0,2/3), ,凸的,(2/3,+∞), ,凹
拐点:(0,1),(2/3,11/27)
练习:求曲线经的拐点与凹凸区间(注意: 二阶导数不存在的点)
,x=0时,一阶,二阶导数值不存在。
X<0, ,凹, x>0, ,凸的
拐点:(0,0)
曲线的渐近线:
定义3 若曲线C上动点 P沿着曲线无限地远离原点时,点 P与某一固定直线 L的距离趋于零,则称直线 L为曲线 C的渐近线.
定理2 若y=f(x)满足:
(1) ;
(2) ,
则曲线y=f(x)有斜渐近线
y
O
x
C
M
N
P
L
a
练习:求曲线的渐近线.
解令,因为
, ,
故得曲线的渐近线方程为.
定义4 若当时(有时仅当或),则称直线为曲线y=f(x)的铅直渐近线(也叫垂直渐近线)(其中 C为常数).
例:
所以当和时,有,所以曲线有两条铅直渐近线和.
定义若当时,则称曲线y=f(x)有水平渐近线y=C.
例当时,有,所以y=0为