文档介绍：[实验三] 个人住房抵押贷款和其他金融问题
一、试验目的
本实验涉及微积分方程和线性代数,通过实验复习数列、函数方程求根和线性代数方程组有关的某些知识;主要是介绍与经济生活中某些常见重要问题有关的离散形式数学模型——差分方程。
二、实际问题
随着经济的发展,金融正越来越多地进入普通人的生活:贷款、保险、养老金和信用卡等;个人住房抵押贷款是其中重要的一项。1998年12月,中,其中开款利率如下表所列:
表
贷款期限半年 1 年 3 年 5 年 5年以上
利率% 6. 12 6. 39 6. 66 7. 20 7. 56
(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时,利率为对应相邻两数中较大者。)其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。
报章公布的个人住房商业抵押贷款年利率和上海商业银行提供的个人住房商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)
表
贷款期限 1 年 2 年 3 年 4 年 5年
利率% 6. 120 6. 255 6. 390 6. 525 6. 660
表
年 1 2 3 4 5
月 12 24 36 48 60
月还款额到期一次还本付息 444. 356 0 305. 989 6 237. 264 9 196. 411 8
本息总额 10 612. 00 10 664. 54 11 015. 63 11 388. 71 11
一个十分自然的问题是:(中而制定的?
贷款期限
三、数学模型
以商业性贷款10000元为例来考察,%,,这很容易理解。%,,这后两个数字究竟是怎样产生的呢?是根据本息总额算出月还款数还是恰好相反(%)?让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月等额归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。
设贷款后第 K 个月时欠款余额是 Ak 元,月还款为m元,则由 Ak 变化到 Ak+1,除了还款数外,还有什么因素参与?无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该用月利率,设其为 r,从而得到
或者
连同开始的贷款数
这就是问题的数学模型, 其中月利率采用将年利率 R= 55 平均, 即
若 m 是已知的, 则由式() 可以依次求出 Ak 中的每一项, 我们称() 为差分方程
四、问题的解法和讨论
Ⅰ. 月还款额
二年期的贷款在第24个月时还清,即
为求 m 的值,令
利用式() 易有
于是导出 Bk 的表达式
由式() 和(), 可知
从而得到差分方程() 的解
将 A24 、 A0 、r的值和 k=24 代入, 就有
m = 0 (元)
当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢?尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表 商业性贷款利率