文档介绍：考研概率论复****br/>二维随机变量及概率分布
一、二维随机变量的联合概率分布表示
.二维随机变量的联合概率分布函数
概念
设(X,Y)为一个二维随机变量，x,y为任两个实数，则称
F(x,y) P(X x,Y y)为(X,Y)的联合概率分布函数。
性质
. 0 F(x,y) 1
. F(x, y)关于x或y单调递增
. F( , ) F(x, ) F( ,y) 0 , F( , ) 1
. F (x, y)关于x或y右连续，
即 F(x 0, y) F(x,y), F(x,y 0) F(x,y)。
.对于任意4个实数a, b, c, d,其中a b, c d,均有
F (b, d) F (b, c) F (a, d) F (a, b) 0
如有F(x, y)满足(1)〜(5),则F(x,y) 一定可成为某一个二维随机变量(X, Y)的联合概率分布函数。
lx y 1例：问F(x, y) ,能否作为某二维随机变量(X, Y)的联合概率Ox y 1
分布函数？
解：取 A(0. 5,4),B(4,4),C(4, 0. 5),D(0. 5,),因
F(B) F(A) F(C) F(D) 1110 1 0,不能
.二维离散型随机变量的联合概率分布表
概念
设(X,Y)为一个二维随机变量，且(X,Y)的取值仅有有限对数或可列对数，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。
二维离散型随机变量(X, Y)可用联合概率分布表或联合概率分布列表示。
〜(X, Y)
或(X, Y)〜P(X xi, Y yj) pi j, i, j 1, 2,
性质
• pij 0
. pij 1
i, J
.二维连续型随机变量的联合概率密度函数
概念
设(X,Y)为一个二维随机变量，f(x,y)为一非负函数，若对任意实数a,b,c,d,其中
(a b, c d),事件(a X b, c Y d)的概率
P (a X b, c Y d) dx f (x, y) dy, acbd
则称(X, Y)为二维连续型随机变量，称f(x, y)为(X, Y)的联合概率密度函数。
性质
(1) • f (x, y) 0
x2
• ♦ •
5
• • •
•
Ph
p.:
• ♦ •
P\n
• • •
• • •
♦ • •
• • •
• ♦ •
• • •
• • •
Pm
Pm2
• • •
Pnm
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • ♦
(2). dx f (x, y) dy 1
二维连续型随机变量的联合概率密度函数与联合概率分布函数的关系若(X, Y)的概率分布函数为F(x,y), (X,Y)的概率密度函数为f(x,y),贝U
(x,y) f(x, y) (1). Fxy
(2). F (x, y) du xv f (u, v) dv
设X (XI, X2)的概率密度为fX(xl,x2),
yl gl(xl,x2) xl hl(yl,y2)若具有唯一的反函数，
y g (x, x) x h (y, y) 212212 2 2
且 hl(yl,y2), h2(yl,y2), gl(xl,x2), g2(xl,x2)都有一阶连续偏导数,
xl
y 记 J 1 x2
yl xl Yl gl(Xl, X2) y2, , x2Y g(X, X)212 2 y2
则设Y (Yl, Y2)的概率密度为
fY(yl, y2)=fX[hl(yl,y2),h2 (yl,y2)] J
1 X U bV例：设二维随机变量(U,V)〜N(2,2;4, 1,),，问b ?时，X,Y独立？
2 Y V
1 b X U bVJ 1 0,解：，且所以(X,Y)〜二维正态分布，因此X,Y Y V01
独立等价于X, Y不相关，从而等价于Cov (X, Y) =0
Cov (X, Y) =Cov (U bV, V) = Cov (U, V) - bCov (V, V)
=Cov(U, V)- bDV 11 b 0, b . 22
二、二维随机变量的边缘概率分布表示
.二维随机变量的边缘概率分布函数
若(X,Y)〜F(x,y),贝iJX~FX(x) F(x, ), Y~FY(y) F( , y)。
.二维离散型随机变量的边缘概率分布表
若(X, Y)〜
或(X,Y)〜P(X xi,Y yj) , j 1,2,
则 X〜P(X xi) pij, i 1,2,
j
Y〜P(Y yj) pij, j 1,2,
i
.二维连续型随机变量的边缘概