文档介绍：一维随机变量及概率分布
一、一维随机变量及概率分布表示
(-).一维随机变量及概率分布函数
设X为一个随机变量，X为任一个实数，则称F(x) = P(X < X)为X的概率分布函数。
概率分布函数的性质：
. 0<F(x)<l
. F(x)单调递增
. F(—8)= 0 , F(+8)=l
. F(x)右连续。
利用概率分布函数求概率：
. P(X Sa) = F(a),
. P(a<X <b) = F(b)-F(a),
. P(X =a) = F(a) —F(a —0),
. P(X >a) = l-F(a)
. P(X >tz) = l-F(a-0)
任何一个满足性质(1)〜(4)的函数F(x)都可作为某个随机变量X的概
率分布函数。
例：设X
X
0
1
P

求X的概率分布函数。
解：X的概率分布函数F(x) = 0 < X < 1 o
1 x>l
离散型随机变量的概率分布函数是阶梯形函数。
(二).一维离散型随机变量及概率分布
概念：设X为一个随机变量，且X的取值仅有有限个数或可列个数，则称 X为离散型随机变量。
离散型随机变量X可用概率分布表或概率分布列表示。
X
兀2
・・・
・・・
P
P1
P2
…
P”
…
或 X 〜P(X = Pi , 21,2,…
概率分布表的性质：
. Pi > 0
⑵•工Pi =1
i
利用概率分布列求概率：
若 X 〜P(X=x) = Pj , 7 = 1,2,…则 P(XwD)=工门
XjED
例1:设电子线路中装有两个并联的继电器，设这两个继电器是否接通具有随机性，且相互独立，,记X为线路中接通的继电器的个数，求X的概率分布及线路接通的概率。
解：设4：第7个继电器接通，心1,2,则P(A; ) = ,于是
P(X =0) = P(AA) = P(A )^(A) =
P(X =1)= P(Aj 4+AA) = P(A)P(^) + P(A^)P(A2)=
P(X =2)= P(AA2) = P(Al)P(A2) =
X的概率分布表
X
0
1
2
P
0. 04
0. 32
0. 64
线路接通的概率为 P(X >1) = P(X =1) + P(X =2) =
例2： —汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个红绿信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示汽车首次遇到红灯时已通过的路口数，求X的概率分布。
解：X的取值可能为0,1,2, 3；
设4：汽车在第：个路口遇到红灯，心1,2,3,则P(A,. ) = ,于是
p(X=0) = P(A1)=
P(X =1)= P(AA) = P(A)P(A) =
P(X =2) = P(A^4A3) = P(^)P(^)P(A3) =
P(X =3)= P(丽&) = P(A)P(4)P(A)=
X的概率分布表
X
0
1
2
3
P
0. 5
0. 25
0. 125
0. 125
(三).一维连续型随机变量及概率分布
概念：设X为一个随机变量，/'(X)为一非负函数，若对任意实数a,b, (a<b),事件(a < X < Z?)的概率 P(a < X < Z?) = j f(x)(7x,则称 X 为连续型随机变量，称/Xx)为X的概率密度函数。
概率密度函数的性质：
(1). /(%)>0
⑵.J f(x)dx - 1
利用概率密度函数求概率：
若 X 〜f(.r)则 P(X e D)= £ f(Qdx
概率分布函数和概率密度函数的关系
若X的概率分布函数为F(x), X的概率密度函数为f (.r),则
(1). F\x) = f(.X) (2). F(x) = £ f(m)Jm

.常用的一维离散型随机变量
X
0
1
P
P
q
或 P(X =k) = pkqx~k , k = 0,1
二项分布B(n, p)
记n重贝努里试验中4出现的次数为X ,则X = 0,1,2,…屮，且
X 〜B(n, p) , P(X =k) = C'pkqZ
泊松分布P(2)
. X 〜P(a), P(X =k) = —e" , X=0丄 2,…
k\
.泊松定理:
在"重贝努里试验中，事件A在每次试验中发生的概率为卩”(这与试验的次数"有关)，若当"T8时，u