文档介绍：.
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二维随机变量及概率分布
一、二维随机变量的联合概率分布表示
(一). 二维随机变量的联合概率分布函数
概念
设为一个二维随机变量，为任两个实数，那么称
为的联合概率分布函数。
性质
(1).
(2). 关于或单调递增
(3). ，
(4). 关于或右连续，
即，。
(5). 对于任意4个实数，其中，均有
如有满足(1) ～ (5)，那么一定可成为某一个二维随机变量的联合概率分布函数。
例：问，能否作为某二维随机变量的联合概率分布函数？
解：取，
因，不能
(二). 二维离散型随机变量的联合概率分布表

设为一个二维随机变量，且的取值仅有有限对数或可列对数，那么称
.
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为二维离散型随机变量。
二维离散型随机变量可用联合概率分布表或联合概率分布列表示。
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
～
或～
(1).
(2).
(三). 二维连续型随机变量的联合概率密度函数
设为一个二维随机变量，为一非负函数，假设对任意实数
其中，事件的概率
，
那么称为二维连续型随机变量，称为的联合概率密度函数。
(1).
.
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(2).
3. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数与联合概率分布函数的关系
假设的概率分布函数为，的概率密度函数为，那么
(1).
(2).
4. 设的概率密度为，
假设具有唯一的反函数，
且，，，都有一阶连续偏导数，记，,
那么设的概率密度为
=
例：设二维随机变量～,问时，独立？
解：，且，所以～二维正态分布，因此独立等价于不相关，从而等价于Cov=0
Cov =Cov= Cov- Cov
= Cov- ，
二、二维随机变量的边缘概率分布表示
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(一). 二维随机变量的边缘概率分布函数
假设～，那么～，～。
(二). 二维离散型随机变量的边缘概率分布表
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
假设～
或～
那么～
～
(三). 二维连续型随机变量的边缘概率密度函数
假设～，那么～，～。
三、两个随机变量的独立性的判断
1．假设的联合概率分布函数为，边缘概率分布函数分别为，，那么相互独立的充要条件为：=。
2. 假设的联合概率分布列为
边缘概率分布列为
.
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～
～
那么相互独立的充要条件为：
3. 假设的联合概率密度函数为，边缘概率密度函数分别为，，那么相互独立的充要条件为：=。
四. 常用的二维随机变量
二维均匀分布
～，的概率密度函数为，
二维正态分布
(1). ～，的概率密度函数为
=
(2).假设～，那么～，～。
五．条件概率分布
例1. 设二维随机变量的联合概率密度函数为
求(1). 条件概率密度函数，(2). 条件概率
解：(1). 的密度函数为
～，
.
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当，=，
当时，，
所以～，
所以，当时，
(2). 的密度函数为～，
例2. 设二维随机变量的联合概率密度函数为
，
求(1).，(2).条件概率密度函数
解：
(1). 的密度函数为
～
又，
所以
(2).
六实例
设随机变量和的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度。
.
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解：据题意，～。
先求的概率分布函数。显然，所以
(1).，，
(2).，
(3).，
，所以。
设随机变量～，，且满足，求。
解：先求的联合概率分布列
-1
0
1
-1
0
1
因
-1
0
1
-1
0
0
0
1
0
0
.
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由联合分布和边缘分布的关系得
-1
0
1
-1
0
0
0
0
1
0
0
所以。
设随机变量和的