文档介绍：全向轮运动平台分析
全轮转向式小车
一、坐标系与位置表示
图1 地理坐标系与体坐标系
定义如图所示的坐标系，地理坐标系{XI，YI},体坐标系{XR，YR}，坐标之间夹角为θ，P点位置描述为
εI=xyθ
由地理坐标转为体坐标的映射由正交旋转矩阵完成
εR=RθεI=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xyθ
反方向变换矩阵如下
Rθ-1=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001
二、运动学模型与控制律
图2 轨迹跟踪示意图
坐标系参照图2，对于地理坐标中的位置指令pI=(xr yr θr)和速度指令qI=(vr ωr)将对应的误差在体坐标系中表示出来
pR=xeyeθe=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xr-xyr-yθr-θ
对上式求导的到[1]:
xe=xr-xcosθ-xr-xsinθθ+yr-ysinθ+(yr-y)cosθθ =yeω-xcosθ+ysinθ+vrcosθrcosθ+vrsinθrsinθ =yeω-vx+vrcosθr-θ =yeω-vx+vrcosθe
ye=-xr-xsinθ-xr-xcosθθ+yr-ycosθ-(yr-y)sinθθ=-xeω+xsinθ-ycosθ-vrcosθrsinθ+vrsinθrcosθ=-xeω-vy+vrsinθe
将上式合并写出得到位置误差微分方程
pR=xeyeθe=yeω-vx+vrcosθe-xeω-vy+vrsinθeωr-ω
当上式系数为正时，V2≤0，故以上Lyapunov函数选择正确。
由此得到基于运动学模型的轨迹跟踪速度控制律为[2]：
vω=vrcosθe+kxxeωr+vr(kye+kθsinθe)
其中，k，kx，kθ为控制器参数。
将控制律代入微分方程得下式：
pR=xeyeθe=ye(ωr+vr(kye+kθsinθe))-kxxe-xe(ωr+vr(kye+kθsinθe))+vrsinθe-vr(kye+kθsinθe)
上式在零点附近线性化，忽略高次项得
pR=ApR
A=-kxωr0-ωr0vr0-vrky-vrkθ
系数值与角速度和速度指令值共同决定系统根，当系数为正是所有根为负数。
仿真系统结果图如下：
图3 轨迹跟踪结构图
图中q=(v ω)T，v、ω分别为移动机器人的线速度和角速度，εI=(x y θ) T,对于差动机器人运动学方程可表示为：
εI=xyθ=cosθ0sinθ001vω=Jqc
图中J=cosθ0sinθ001；pR=xeyeθe；qc=q；
对于全向轮机器人运动学方程可表示为：
xyθ=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001vxvyω=Rθ-1vxvyω
，仿真结果如下图：
图4 圆形轨迹跟踪仿真图
图中×点线为差动轮跟踪轨迹，О点线为全向轮跟踪轨迹。
三、全向轮平台的设计
对全向轮采用如下图所示的结构时，进行系统分析与设计
图5 互补型全向轮(omni wheels)
图6 全向轮式移动机器人运动学模型
移动坐标Xe-Ye固定在机器人重心上，而质心正好位于几何中心上。机器人 P 点在全局坐标系的位置坐标为：(x ,y,θ)，三个全向轮以 3号轮中心转动轴反方向所为机器人的X轴。假设三个全向轮完全相同，三个全向轮中心到车体中心位置的距离L。在移动坐标Xe-Ye的速度用vxevye表示。
由文献[3]可得三个全向轮的速度与其在移动坐标和全局坐标系下的速度分量之间的关系分别为以下二式：
V1V2V3=sin(60)cos(60)L-sin(60)cos(60)L0-1Lvxevyeω=3212L-3212L0-1Lvxevyeω=Ta3╳3vxevyeω
V1V2V3=sin(60-θ)cos(60-θ)L-sin(60+θ)cos(60+θ)Lsinθ-cosθLxyθ
在移动坐标Xe-Ye中，设机器人在沿轴Xe和Ye方向上收到的力分别为FXe和FYe第1、2、3号驱动轮提供给机器人的驱动力分别为f1、f2、f3，机器人惯性转矩为M，根据牛顿第二定律可得到如下的动力学方程：
mxemyeIθ=FXeFYeM=cos30-cos300sin3