文档介绍：四、几何概型
古典概型是关于试验的结果为有限个,:保留等可能性,而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形,称具有这种性质的试验模型为几何概型.
若在一个面积为的区域中等可能地任意投点,这里“等可能”的含义是:点落入中任何区域的可能性的大小与区域的面积成正比,而与其位置和形状无关.(样本点“均匀分布”)
由
知
从而
——几何概率
记事件
则有
例8 甲、乙两人相约在早上8点到9点之间在某地会面,先到者等候另一人20分钟,这时就离开。如果每个人可在指定的这一小时内任意时刻到达,试计算两人能会面的概率。
(注:若P(A)=0,则不能得出A为空集。)
第三节条件概率
一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
例1 一个家庭中有两个小孩,已知其中一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多少?
(假定生男生女是等可能的)
由题意,样本空间为
(1)
表示事件“至少有一个是女孩”,
表示事件“两个都是女孩”,则有
由于事件A已经发生,所以这时试验的所有可能结果只有三种,而事件B包含的基本事件只占其中的一种, 所以有
解
在这个例子中,若不知道事件A已经发生的信息,那么事件B发生的概率为
其原因在于事件的发生改变了样本空间,使它由原来的缩减为,而是在新的样本空间中由古典概率的计算公式而得到的.
这里
(2)
关系式(2)不仅对上述特例成立,对一般的古典概型和几何概型问题,也可以证明它是成立的.
上例中计算 P(B|A) 中考虑,显然有
从而
即
(3)
可以验证,条件概率P(•|A)满足概率公理化定义中的三条公理
定义1
事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. (定义解释见P20)
,可选用下列两种方法之一来计算条件概率P(B|A)
(1)在缩减后 WA 的样本空间中计算;
(2)在原来的样本空间W中,直接由定义计算.
1 非负性
2 规范性
3 可列可加性
例2 一袋中有10 个球,其中3个黑球,7个白球, 依次从袋中不放回取两球.
(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;
(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.
解
(1)可以在缩减的样本空间 WA1上计算。
因为A1已发生,即第一次取得的是黑球,第二次取球时, 中所含的基本事件数为9,
记