文档介绍：§4 高斯定理
一、电力线
1、引入目的:形象化、直观性地描写电场,作为一种辅助工具。
2、引入方法:电场是矢量场,引入电力线要反映场的两个方面,在电场中人为地作出许多曲线,作法如下:
(1)反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致;
(2)反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示,电力线数密度与该点场的大小成正比
其中表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数——电力线数密度,参见图1-15。
ΔS
ΔS
θ
(a) 垂直时: (b) 非垂直时:
图1-15
在SI制中,比例系数取1,则,即。更精
确地有:。
例:点电荷Q均匀辐射N条电力线,各向同性,半径为的球面上电力线数密度为
;而场强,两者一致,且,球面立体角中占有()条。
3、电力线的普遍性质
(1) 电力线起自正电荷(或来自无穷远处)、止于负电荷(或伸向无穷远处),不会在没有电荷的地方中断——不中断;
(2) 对于正、负电荷等量的体系,正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上去——不多余;
(3) 无电荷空间任两条电力线不相交——不相交(否则,场则不唯一);
(4) 电力线不能是自我闭合线——不闭合。
4、说明
(1) 电力线非客观存在,是人为引入的辅助工具;
(2) 电力线可用实验演示;
(3) 展示几种带电体电力线的分布(图略)。
二、电通量
静电场是用描述的矢量场。一般地,研究矢量场时常引入矢量的通量概念,如:流体力学中的流量等,静电场中虽无什么在流,但可藉此研究静电场。
1、定义电通量
在电场中通过一曲面元的电通量定义为:
式中。因可锐角、钝角,故可正、可负。
对于非无限小的曲面,有
其中,任意曲面S的法向有两种取法,对于不闭合的曲面,其法向取何方向无关紧要。
对于闭合曲面,其电通量定义为:
并规定:取闭合曲面S的外法向矢为正,则电力线穿出S处,,为正(出正);进入S处,,为负(入负)。
2、点电荷场中电通量示例
(使用库仑定律)
(1)面元的电通量
:(球面度),如图1-16(a)所示,故
(2) 任意曲面的电通量
划分S成为许多面元,则
其中,为S对q点所张开的立体角,如图1-16(b)所示。
图1-16(a)
图1-16(b)
(3) 任意闭合曲面的电通量
虽然为矢量,但的通量为标量,可代数和。以闭合面外法向为正参考,则
与r无关。具体解释如图1-17,其中
①当在S内:处处,故。
图1-17(a)
②当在S外:, 且,,故。
s
图1-17(b)
[说明]
(1) 电场对任曲面的在数值上等于通过该曲面电力线的条数。例如,图1-18 (a)中,共发出条力线,通过立方体表面条;图1-18(b)中,半球面的可用圆面的代之。
(a) (b)
图1-18
(2) 如图1-19,在S内,的有效性相当于只一次穿过闭合面;在S外,电力线与S面相交偶数次,穿进、穿出相消。
q
q
S
S
1
2
3
1
2
3
4
(a) (b)
图1-19
三、高斯定理
1、单个点电荷情况
上述在一个点电荷的电场中已证得
且注意其中已运用了库仑定律(如)。
多个点电荷情况
现结合场强叠加原理,给出多个点电荷存在时场中任意闭面S的电通量结果——高斯定理。
设空间有一组点电荷,则任一点的场为
(场叠加原理)
又令一任意形状的闭曲面S包围电荷,而另外电荷在S之外。则
即分立电荷时,有
3、电荷连续分布情况
若S内的电荷非分立分布,而是连续体分布,作变换,则有
其中S与V对应。
上述即高斯定理的数学表述,它表明:通过任一闭合曲面S的电通量等于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和除以,与闭合曲面外的电荷无关。此处的闭合面S称为高斯面。
4、高斯定理的几点认识与说明
(1) 高斯定理是静电场基本定理之一,反映了静电场是有源场。
高斯定理所述是矢量场之闭面通量,其结果可用闭面内电量代数和表述。静电场的电力线是有头有尾的,发于正、止于负电荷。
(2) 高斯定理给出了场与场源间的一种联系,这种联系非直接。
由高斯定理知,与之间是积分关系,非直接的;而与是直接的关系。若=0,则=0,但不意味着S面上处处=0。
仅指S内电荷电量的代数和(可正、可负),而则指空间所有电荷激发场之合贡献,S面上的随点而异,当然在S面上取值,且与面元间夹角关系十分重要。
封闭面S之外的电荷分布并不影响封闭面的,但这不意味S外的电荷分布不影响S面上各点的场的大小、方向;同样,一定的电荷在S内的分布情况也不影响,但不是说S内电荷分布变化时不影响S上各点的大小、方向,例:
S