文档介绍：显然 P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.
一、两事件的独立性
A={第二次掷出6点}, B={第一次掷出6点},
先看一个例子:
将一颗均匀骰子连掷两次,
设
由乘法公式知,当事件A、B独立时,有 P(AB)=P(A) P(B)
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
P(AB)=P(B)P(A|B)
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B独立,或称A、B相互独立.
两事件独立的定义
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
可见, P(AB)=P(A)P(B)
由于 P(A)=4/52=1/13,
说明事件A、B独立.
问事件A、B是否独立?
解:
P(AB)=2/52=1/26
P(B)=26/52=1/2
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的,也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.
则由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率,故认为A、B独立.
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中},A与B是否独立?
例如
(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)
一批产品共n件,从中抽取2件,设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.
又如:
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响.
若抽取是无放回的,则A1
与A2不独立.
请问:如图的两个事件是独立的吗?
即: 若A、B互斥,且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立.
反之,若A与B独立,且P(A)>0,P(B)>0,
则A 、B不互斥.
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
故 A、B不独立
我们来计算:
P(AB)=0
P(AB) ≠ P(A)P(B)
即
问:能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?
这两个事件就是 S和
P( S) =P( )P(S)=0
与S独立且互斥
不难发现, 与任何事件都独立.