概率论与数理统计第8讲.ppt

文档介绍：概率论与数理统计第8讲
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例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差D(X)=s20. 记X *=(X-m)/s .
称X *为X的标准化变量.
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例2 设随机变量X具有(0-1)分布, 其分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p.求D(X).解 E(X)=0(1-p)+1p=p, E(X2)=02(1-p)+12p=p.由()式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p).
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例3 设X~p(l), 求D(X).解 X的分布律为
上节例6已算得E(X)=l, 而
E(X2)=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X)
=l2e-lel+l=l2+l.
所以 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=l.
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例4 设X~U(a,b), 求D(X).解 X的概率密度为
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例5 设随机变量X服从指数分布, 其概率密度为
其中q>0, 求E(X), D(X).
解
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于是 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2q 2-q 2=q 2.即有 E(X)=q, D(X)=q 2.
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方差的几个重要性质(1) 设C是常数, 则D(C)=0.(2) 设X是随机变量, C是常数, D(CX)=C2D(X).(3) 对任意两个随机变量X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} ()特别, 若X,Y相互独立, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) ()(4) D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, P{X=C}=1.
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证(4)证略. 下面证明(1),(2),(3)(1) D(C)=E{[C-E(C)]2}=0(2) D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2} =C2D(X).(3) D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} =E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.如X,Y相互独立, 则X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立, 则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]=0
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例6 设X~b(n,p)求E(X),D(X).解由二项分布的定义知, 随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验中A发生的概率为p. 引入随机变量:
易知 X=X1+X2+...+Xn, ()
由于Xk只依赖于第k次试验, 而各次试验相互独立, 于是X1,X2,...,Xn相互独立.
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