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线性代数复****要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行（列）展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算
行列式的定义
行列式的计算：
① (定义法)
②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
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③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若都是方阵（不必同阶）,则
⑤ 关于副对角线：
⑥ 范德蒙德行列式：
⑦ 型公式：
⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.
⑨ (递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中
,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.
(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，
使问题简化以例计算.
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⑩ (数学归纳法)
2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法：
①、；
②、反证法；
③、构造齐次方程组，证明其有非零解；
④、利用秩，证明；
⑤、证明0是其特征值.
4. 代数余子式和余子式的关系：
第二部分 矩阵
矩阵的运算性质
矩阵求逆
矩阵的秩的性质
矩阵方程的求解
矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.
记作：或
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.
矩阵运算
a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.
b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作 或，规定为.
c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，
其中
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注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
a. 分块对角阵相乘：,
b. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；
c. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.
d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
④ 方阵的幂的性质：，
⑤ 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.
a. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵 .
是反对称矩阵 .
b. 分块矩阵的转置矩阵：
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⑥ 伴随矩阵： ，为中各个元素的代数余子式.
,, .
分块对角阵的伴随矩阵：
矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
（无条件恒成立）
2. 逆矩阵的求法 方阵可逆 .
①伴随矩阵法 ：
② 初等变换法
③ 分块矩阵的逆矩阵：
④ ,
⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义）
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行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖
线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，
称为行最简形矩阵
初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换
初等变换
初等矩阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
()
()
()
☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.
注意： 初等矩阵是行变换还是列变