文档介绍：线性代数复****要点
第一部分行列式
排列的逆序数
行列式按行(列)展开法则
行列式的性质及行列式的计算
:
a
11
a…a
12 1n
①(定义法)
aD—21n :
a••-a
22 2n
a
线性代数复****要点
第一部分行列式
排列的逆序数
行列式按行(列)展开法则
行列式的性质及行列式的计算
:
a
11
a…a
12 1n
①(定义法)
aD—21n :
a••-a
22 2n
a
n1
a••-a
n2 nn
思考既
用定义计算行列式
行列式的定义
=Z (-1)t(jj;'jn)aa…。
... 1j12j2 nn
j1j2j
t(2L34)=1t(21-B)-2r(2413)-3"2431)-1
故Z?=—3+2—L2+9=—4
②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
[\A\,i-j,
aA+aA+•••□A=技
i1j1i2j2 injnI0,i丰j.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
b
*
*
*
11
A=
0
b
*
*
••
•
22
0
.
•
.
*
=b1bi2"'b
0
•••
0
b
④若A与8都是方阵(不必同阶)
A
O
,则O
B
O-|A||B|
B
二(-1)mn|A||B|
nn
a
1n
O
a
1n
a
2n-1
a
2n-1
=(—1)n(n-1)aa・..a
1n2n n1
O
a
n1
O
1 …
1
X …
2
X2 …
2
•
•
•
X
n
X2
n
=n(
1<j<i<n
X-X)
ij
*
关于副对角线:
a
n1
1
X
1
范德蒙德行列式:X2
1
Xn-1 Xn-1 …Xn-1
1 2 n
a b b …b
b a b ••• b
⑦a-b型公式:
b b a … b =[a+ (n-1)b](a-b)〃-1
bbb•••a
⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法
⑨(递推公式法)对n阶行列式Dn找出Dn与Dn-1或Dn-1,D-2之间的一种关系—称为递推公式,其中
Dn,Dn-1,Dn2等结构相同,再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法.
(拆分法)把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.
⑩(数学归纳法)
对于”阶行列式|川,恒有:|雄-4|=扁+2!(-1)^/1,其中Sk为k阶主子式;
k=1
证明A=0的方法:
、\a\=-\a\;
、反证法;
、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解;
、利用秩,证明r(A)<n;
、证明0是其特征值.
A=(-1)i+jM
酉 i
:M,=(-1)+吃
第二部分矩阵
1.
矩阵的运算性质
2.
矩阵求逆
3.
矩阵的秩的性质
4.
矩阵方程的求解

a
11
a
21
a
12
a
22
称为mxn矩阵.
l
m1
记作:A=(a)或A
ijmxn mxn
同型矩阵:
两个矩阵的行数相等、列数也相等.
矩阵相等:两个矩阵同型,且对应元素相等.
矩阵运算
矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).
数与矩阵相乘:数人与矩阵A的乘积记作人A或A,规定为人A=(扁).
ij
C.
矩阵与矩阵相乘:设A:(a),B:(b),则C:AB:(七)
ijmxs
ijsxn
,mxn
其中
c:(a,a,…,a)
iji1i2is
[1「
^2j
.
:ab^+abH bab
issj
注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律,
即公式":仁A=0或B=0
不成立.
:A:f11
l
A22J'B:l11
B22J
nAB:|11'11
l
\
A22B22J
,(An
An: 11
l
,相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的q向量;
AB
a1 0
0a
2
b b
b21 b22
b
In
b
2n
ab
ab
221
abab.
ab
ab
.
b
m