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线性代数知识点归纳
《线性代数》知识点归纳整理诚毅
学生编
将它们相加。
即A＝×＋×＋×
B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。
③数乘结合律：k（lA）＝（kl）A ，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）
④数乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA ，k（A＋B）＝kA＋kB
⑤乘法结合律：（AB）C＝A（BC）
⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC ，（A＋B）C＝AC＋BC
⑦需注意的：

、交换律不成立
，（AB）k ≠ A k B k，因为矩阵乘法不满足交换律
：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2 ，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2 . 当AB＝BA时，以上三个等式均成立
（3）矩阵的转置运算规律：
① (AT )T＝A
② (A±B)T＝A T±B T
③ (kA)T＝kAT
④ (AB)T＝B TAT
⑤ (ABC)T＝CTB TAT
⑥ (ABCD)T＝DTCTB TAT
（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）
＝
（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1
大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业
P5第4大题
09、矩阵多项式
详见课本P 36
10、对称矩阵
（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）
（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵
②数与对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵
③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵
11、矩阵的分块
线代老师说这部分的内容做了解即可。
详见课本P38-40
12、矩阵的初等变换
三种行变换与三种列变换：详见课本P 42
例题：作业P6全部
13、矩阵等价
若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为AB
14、初等矩阵
（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49
（2）设A为m×n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的
m阶初等矩阵；-51
（3）课本P51第3大题
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵
（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：
若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题
16、逆矩阵
（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，
并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）
（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E
（3）n阶方阵A可逆的充要条件为≠0，并且，当A可逆时，A－1＝
（证明详见课本P54）
例题：课本P59第1大题
（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）
（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么
① (A－1)－1＝A ② AT也可逆，并且(AT )-1＝(A-1)T
③ kA也可逆，并且 (kA)-1＝A-1
④ AB也可逆，并且(AB) -1＝B-1A-1
⑤ A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1
⑥ AA-1＝E AA-1＝E＝1 AA-1＝1 A-1＝

例题：课本P58例、作业P7第1题
（6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57
（7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到
的，即初等矩