文档介绍：1第1章矢量分析主要内容: 矢量代数散度及散度定理(重点) 旋度及旋度定理(重点) 梯度(重点) 亥姆霍兹定理(理解) 常用坐标系(了解) ?它把物理量用空间和时间的数学函数来描述标量场:只有大小,没有方向矢量场:有大小,有方向 2 ),,,(tzyxT),,,(tzyxF ?静态场:与时间无关时变场:与时间有关标量场与矢量场 3 矢量代数在二维空间或三维空间内的任一点 P, 它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量,故称为实数矢量. 用黑体 A表示,而白体 A表示 A的大小(即A的模)。若用几何图形表示,它是从该点出发画一条带有箭头的直线段,直线段的长度表示矢量 A 的模,箭头的指向表示该矢量 ,便成为具有物理意义的矢量, 如电场强度 E、磁场强度 H、速度 v等等。 4 矢量:(大小+方向) A : 表征矢量的大小:为其单位矢量,长度为 1,表征矢量的方向; 也可以表示为各个坐标分量的和: Ae ? 矢量代数 AeA A???可以看出,一个矢量场对应三个标量场。单位矢量,长度为 1 方向分别为 x,y,z 方向 zyxeee,,标量(数值) zyxAAA,, zzyyxxAeAeAeA ??????? NOTE: 在直角坐标系下为常矢量(大小,方向固定) 并不是所有单位矢量是常矢量(如圆柱、直角坐标系) 源点、场点、位置矢量(矢径)、距离矢量矢径(r):由O点指向空间任一点 M的矢量 OP 用 r 表示称矢径。矢径是一特殊的矢量,具有明确的定义和表达式, 表示的是空间位置,没有物理含义。源点: 源所占有的空间位置称源点,用符号 S′表示。场点: 除源以外的其它空间位置称场点,用符号 P表示。距离矢量 R:由源点指向场点的矢量, 用符号 R 表示。 R = r - r′场点: r = x e x + y e y + ze z 源点: r′ = x′e x + y ′e y + z ′e z 源点和场点均占有空间位置,因此可用矢径表示: S′ P Rr′r ○ zeyexer zyx???????例:已知, A = xye x + z 2e y + ye z求: A及r在点 P(1,2,2) 的值,且图示。注意:矢径和矢量的区别解: ①求值∵r = xe x + y e y + ze z由题意可知: x= 1 , y= 2 , z= 2 将此代入 A及r 得: A = 2e x + 4e y + 2e z ;r = e x + 2e y + 2e zr A ○②图示 P(1,2,2) 7 ? 1矢量的加法:(矢量求和) x x y y z z x x y y z z A e A e A e A B e B e B e B ? ???????? ?????( ) ( ) ( ) x x x y y y z z z A B e A B e A B e A B ? ? ???????? ??已知: 则: 两个矢量相加,等于两个矢量相应的分量分别相加,它们的和还是一个矢量。 2 标量与矢量相乘?标量 k与矢量 A相乘,结果是 A的方向未变,大小改变了 k倍 zzyyxxA kA e kA e kA e kA eAk ????????? 3 矢量的点积(或称标量积、内积,做功) 设矢量 A与B方向的夹角为,则 A与B的点积为: 2 ( ) 1 x x y y z z a a A B A B A B e e ? ?????? ?????? ? ??ΑΒΒΑΑΒCΑΒΑC ΑΑA, ?? 0, ? ??? cos BABA??0 1???????????? xzzyyx zzyyxxeeeeee eeeeee???????????????? zzyyxx zzyyxxzzyyxxBABABA BeBeBeAeAeAeBA??????????????????运算规则: 当 A 与 B 均不为 0时,若 A·B =0 ,则 A⊥ B (判断垂直)。标量 4 叉积(或称矢量积、外积) 若 A 与 B 的夹角为,则 A 与 B 的叉积记为, 方向与 A 、 B 均垂直,且按的顺序构成右手螺旋关系?? 0, ? ??? A B ? A B A B 、、? sin BAeBA n?????0???????????? zzyyxx yxz xzy zyxeeeeee eee eee eee???????????????????)()()( xyyxzzxx