文档介绍：解析函数的孤立奇点与留数留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志;留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。:(z)在z 0不解析, 但在 z 0的某一去心邻域 0<| z?z 0 |<?内解析, 则称 z 0为f(z)的孤立奇点. 由定义可知,若 z 0为f(z)的孤立奇点,则意味着在 z 0的某个领域里只有 z 0一个奇点。并非所有的奇点都孤立,例如: z zf1 sin 1)(? 1). 若无负幂项, 则称 z 0为f(z)的可去奇点; 2). 若只有有限个负幂项, 则称 z 0为f(z)的极点; 若c -m? 0, 而c n = 0 ( n<-m ), 则称 z 0为f(z) 的m级极点, 级数中负幂项的个数来分类.)( 0?????? n n nzzc设z 0为f(z)的孤立奇点,则f(z)在 0<| z?z 0 |<?内解析, Laurent 展式为 3).若有无穷多个负幂项, 则称 z 0为f(z)的本性奇点。判别: (1) 如果 z 0为f(z)的可去奇点, ,)( lim 0 0czf zz???(2) z 0为f(z)的极点;)( lim 0????zf zz???不存在也不为)( lim 0zf zz (3) z 0为f(z ) 的本性奇点: z 0为f(z)的m级极点?c -m为有限复常数; ???????????????,)()( lim 0,)()( lim 0 00 0m m zz kzzczfzz mkzfzz 二. 零点与极点的关系(1) 定义:若解析函数 f(z)能表示成 f(z ) = ( z?z 0) m?(z ), 其中?(z 0)?0,且?(z)在z 0处解析,m为某一正整数, 则称 z 0为f(z)的m级零点. (2) 性质(a)如果 f(z)在z 0处解析, 那么 z 0为f(z)的m级零点? f (n)(z 0 ) = 0 ( n = 0, 1, 2, …, m? 1), f (m)(z 0 ) ? 0. )( 1zf( b)z 0为f(z)的m级极点?z 0为的m级零点. 例1求下列函数的奇点,并指出其类型: 1 2) 1 (sin )()1( ??z zzf 为非孤立奇点 0?z 级极点为1 1?k z k? 222 2)1( sin )1()()2(???zz zzzf 级极点为21?z 为可去奇点 1??z 级极点为10?z )1( 1)()3( 2?? zez zf 级极点的为级极点的为1)(),1(2 ,3)(0zfkikz zfz k??????z zzf 1 cos )()4(?的本性奇点为)(0zfz?)1 )(1( )()6( 2??? zez zzf ? 2 sin 1)()5(z zf?三. 函数在无穷远点的性态(1) 分类:则称?为f(z) = 1/ z, 则t = 0 是?(t ) = f (1/ t)的孤立奇点. 我们规定: 若t = 0 是?(t ) = f (1/ t)的可去奇点(m级极点, 本性奇点), 则称 z=?是f(z) 的可去奇点(m级极点, 本性奇点). 若f(z)在z = ?的去心邻域 R <|z |<+ ?内解析, (2) 判定若f(z)在R <|z |<+ ?内解析, 则在此圆环内有,)( 0 1?????????? n nn n nnzczczf(*) 不含正幂项() )( ????????????zRzCzf n nn 0)( lim czf z= ???为可去奇点??z 为本性奇点??z ?????)( lim zf z 为极点??z)(0,0 ) )( m z zRzCzf nm n nn??????????????????级极点为只含有限个正幂项( 含无穷多个正幂项() )( ????????????zRzCzf n nn????不存在且不为)( lim zf z关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定, 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的 Laurent 展式。