文档介绍：解析函数的孤立奇点与留数
留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志;留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。
:
(z)在z0不解析, 但在z0的某一去心邻域0<|zz0|<内解析, 则称z0为f(z)的孤立奇点.
由定义可知,若z0为f(z)的孤立奇点,则意味着在z0的某个领域里只有z0一个奇点。
并非所有的奇点都孤立,例如:
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1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点;
2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点;
若c-m 0, 而cn = 0 (n<-m), 则称z0为f(z)的m级极点,
2. 分类
由Laurent级数中负幂项的个数来分类
设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|zz0|<内
解析, Laurent展式为
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3).若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。
判别:
(1)如果z0为f(z)的可去奇点,
(2) z0为f(z)的极点
(3) z0为f(z) 的本性奇点:
z0为f(z)的m级极点
c-m为有限复常数;
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二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成
f(z) = (zz0)m(z),
其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整数, 则称z0为f(z)的m级零点.
(2) 性质
(a) 如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点
f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, …, m1), f (m)(z0) 0.
(b) z0为f(z)的m级极点 z0为
的m级零点.
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例1 求下列函数的奇点,并指出其类型:
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三. 函数在无穷远点的性态
(1) 分类:
则称为f(z)的孤立奇点.
令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点.
我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点
(m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z)
的可去奇点(m级极点, 本性奇点).
若f(z)在z = 的去心邻域R<|z|<+内解析,
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(2) 判定
若f(z)在R<|z|<+内解析, 则在此圆环内有
(*)
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关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为
原点情况或者利用已知函数的展开式来判定,
当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内
的Laurent展式。
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