文档介绍：三、小结、思考题三、小结、思考题二、二、 n n 阶行列式的另一定义阶行列式的另一定义第四节第四节第四节对换对换对换一、排列与逆序数一、排列与逆序数定义在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,得到一个新的排列,这个变换叫做对换. 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换. m lbbbaaa?? 11 例如 ba m lbbabaa?? 11ab bbbaaa??? abbbaa??? 111ba ab ab 对换 ab 相邻对换一、对换的定义一、对换的定义定理定理 1 1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 证明证明设排列为 mlbbab aa?? 11 对换与ab mlbbba aa?? 11 除外,,a abba 当时, ba? ab 的逆序数不变; 经对换后的逆序数增加 1 , 经对换后的逆序数不变,的逆序数减少当时, ba?因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性. 设排列为 nmlcbcbab aa??? 次相邻对换 m bb ab aa??? 111次相邻对换 1?m abbbaa??? 111, 111nmlcbcbab aa????次相邻对换 12?m , 111nmlc acb bb aa???所以一个排列中的任意两个元素对换, bbbaaa??? 111abab 证毕推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明由定理 1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为 0), 因此知推论成立. 定理定理 2 2在全部 n级排列中,奇偶排列各占一半。证明证明.,个偶排列为个设奇排列为 qp,换个奇排列都作同一种对将p,2134567 n?1?N ,2135647 n?,1236547 n?例3?N3?N )2,1( 交换,1234567 n?0?N ,1235647 n? 2?N ,2136547 n? 4?N,列个奇排列全部变成偶排可知 p .qp?故,换个偶排列都作同一种对同理将 q .pq?可知,pq?则即奇偶排列各占一半证毕二、二、 n n阶阶行列式行列式的另一的另一定义定义分析三阶行列式 33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11aaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa aaa aaa???????列标为: 123 、231 、312 321 、132 、213 共3!项,每一项的行标都是: 123 ?????????(1)三阶行列式共有 6项,即 3!项。(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积。(3)每项的正负号都取决于三个元素的列下标的排列。?? 33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11aaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa aaa aaa?????? 33 21 12 ) 213 ( 32 23 11 ) 132 ( 31 22 13 ) 321 ( 32 21 13 ) 312 ( 31 23 12 ) 231 ( 33 22 11 ) 123 ()1()1()1( )1()1()1( aaaaaaaaa aaaaaaaaa t t t t t t???????????? 321 321321 )()1( ppp ppptaaa? 321ppp这里? 321ppp表示对所有三阶排列求和。从而,三阶行列式可改写为考虑三阶行列式的某一项交换乘积中两元素的次序,行标排列与列标排列同时作了相应的对换,则行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 31 22 13aaa? 31 22 13 )321 ()1(aaa t?? 31 22 13 )321 ()123 ()1(aaa tt???31 13 22aaa? 31 13 22 )231 ()213 ()1(aaa tt???定理定理 3 3????? n n nn n njjj iii jijiji jjjtiiit ijaaa aD n ????? 21 21 2211 2121)()()1( 阶行列式?? nppp t naaaD? 21 211???推论阶行列式也可定义为 n nppp? 21