文档介绍：加试模拟训练题( 24) 1 、已知单位面积的凸四边形 ABCD 及其内一点 P ,证明这 5 个点构成的三角形中必有一个的面积不超过 2 1 2 ?,并证明这个上界是最小的。 2、已知正实数 cba,, 的和等于 1,证明:132 222???? abc cba . 3 .给定空间中的 9 个点,其中任何 4 点都不共面,在每一对点之间都连有一条线段,这些线段可染为蓝色或红色,也可不染色. 试求出最小的 n 值,使得将其中任意 n 条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一,在这 n 条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形。 4 .设nm, 是正整数, 2?m ,证明:( 12? m )(12? n )。加试模拟训练题( 24) 1 、已知单位面积的凸四边形 ABCD 及其内一点 P ,证明这 5 个点构成的三角形中必有一个的面积不超过 2 1 2 ?,并证明这个上界是最小的。证明假设两条对角线交于点 O ,不妨假设 P 点在 OBC ?中。假设, , , PAC PBD PBC PAD ? ???的面积分别为 1 2 3 4 , , , S S S S , , , , PA PB PC PD 分别为, , , a b c d , , , , APB BPC CPD APD ? ???? ???????,因为?????????? 1 sin sin sin sin cos cos cos cos 2 ? ???????????? ?????????????????? 1 cos cos sin sin 2 ? ? ??????? ??????, 所以有 1 2 3 4 PAB PCD S S S S S S ? ?? ??。若 1 2 3 4 , , , S S S S 均大于 2 1 2 ?,则 3 4 3 4 1 2 1 ABCD PAB PCD PAB PCD S S S S S S S S S ? ? ??? ?????????, 矛盾。当等腰梯形 ABCD 满足 AD 平行于 BC , 2 1, 1 AD BC ? ??,高为 2 ,P 在对称轴上,且到 AD 的距离为 1 。此时 2 1 2 PAD PBC PAC PBD S S S S ? ????? ???, 2 2 2 PAB PCD S S ? ??? ?,所以 2 1 2 ?是最小的。 2、已知正实数 cba,, 的和等于 1,证明:132 222???? abc cba . (1999-2000 年波兰数学竞赛题) 证明:根据不等式的特点,以)(3232cba abc abc ???, 2)(1cba???代入原不等式并整理可得齐次不等式:2 222)()(32cbacba abc cba????????. 即 ca bc ab cba abc ?????)(3 .因为)(2)( 2222222cba ab