全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(13).doc

文档介绍：加试模拟训练题( 13) 1 、一圆 O 切于两条平行线 1 2 , l l ,第二个圆 1O?切1l 于A ,外切 O于C ,第三个圆 O 2切2l 于B ,外切O于D ,外切 O 1于E , AD 交 BC 于Q , 求证 Q 是 CDE ?的外心。 2. 已知).( 13 12 11 *Nnn a n?????????试证:当 2?n 时,. 1)32 (2 32 2nn aaaa nn???????? 3 .平面上给定 4n+1 个点,任意三点不共线,证明:可以用其中的 4n 个点组成 2n 对,连接每对点的 2n 条线段至少有 n 个不同的交点. 4. 1987 可以在 b 进制中写成三位数 xyz ,如果 7891??????zyx ,试确定所有可能的 zyx,,, 和b 。加试模拟训练题( 13) 1 、一圆 O 切于两条平行线 1 2 , l l ,第二个圆 1O?切1l 于A ,外切 O于C ,第三个圆 O 2切2l 于B ,外切O于D ,外切 O 1于E , AD 交 BC 于Q , 求证 Q 是 CDE ?的外心。证明由1 AO ∥ 2 BO ,知 1 2 AOE BO E ? ??,从而有 1 2 AEO BEO ? ??, 即, , A E B 三点共线。同理由 OF ∥ 2 BO ,可得, , B D F 三点共线。又因为 2 1 1 1 180 180 2 2 EDB EO B AOE EAF ? ??????????, 所以, , , A E D F 四点共圆, BE BA BD BF ?? ?,即点 B 在1O?与O?的根轴上。又因为 C 在1O?与O?的根轴上,所以 BC 是1O?与 O?的根轴。同理 AD 是2O?与O?的根轴,因此 Q 为根心,且有 QC QD QE ? ?,即 Q 是 CDE ?的外心。 2. 已知).( 13 12 11 *Nnn a n?????????试证:当 2?n 时,. 1)32 (2 32 2nn aaaa nn????????证明:( 1 )当2?n 时,左边=;4 9)2 11( 2 22???a 右边=;22 12 32 12 2 2 22?????? aa 24 9?,所以,所证不等式成立.(2 )假设)2(??kkn 时不等式成立,即 kk aaaa kk1)32 (2 32 2????????成立. 当1??kn 时,2 22 21)1( 11 2)1 1(?????????k k aak aa kkkk2 132)1( 11 )1 1(21)32 (2???????????????k k k akk aaa kk2 132)1( 11)132 (2?????????????k kk ak aaa kk2 2132)1( 1)132 (2??????????????kk kkk ak aaa kk2 2132)1( )132 (2?????????????kk kkk ak aaa kk,1 1)132 (2 132????????????