文档介绍：加试模拟训练题( 15) 1 、已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为, A B ,过点 X 作直线,与圆 O 交于两点, C D ,且满足 CA BD ?,若, CA BD 交于点 F ,, CD AB 交于点 G , BD 与 GX 的中垂线交于点 H , 证明, , , X F G H 四点共圆。( 05 年日本) ,, 是正实数,且满足 1? abc ,证明:1 11 11 11????????????????????????? bb a 3 、设 A 是一个有 n 个元素的集合, A 的m 个子集 mAAA,,, 21?两两互不包含, 试证:( 1);1 1 1 ||??? mi AnC (2). 21 ||mC mi An???其中|| iA 表示 iA 所含元素的个数, ||AnC 表示 n 个不同元素取|| iA 个的组合数. 4 .设 cba,, 是直角三角形的三边长。如果 cba,, 是整数,求证: abc 可以被 30 整除。证明:不妨设 c 是直角三角形的斜边长,则 222bac??。加试模拟训练题( 15) 1 、已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为, A B ,过点 X 作直线,与圆 O 交于两点, C D ,且满足 CA BD ?,若, CA BD 交于点 F ,, CD AB 交于点 G , BD 与 GX 的中垂线交于点 H , 证明, , , X F G H 四点共圆。( 05 年日本) 证明因为, , , X D G C 是调和点列,且 90 CFD ? ??,所以 F 在关于点, X G 的阿波罗尼斯圆上。连, FG FX ,有 GFD DFX ? ??。设 GFX ?的外接圆与 BF 交于点 H ?,则有 GH XH ? ??,即 H ?在 GX 的中垂线上,从而有 H H ??,因此, , , X F G H 四点共圆。 ,, 是正实数,且满足 1? abc ,证明:1 11 11 11????????????????????????? bb a (第41届国际数学奥林匹克试题) 分析与证明:令 333,,czbyax???.易知 1? xyz .则 3 311 11y xb a?????= 3 23)(y xyz xyz x??)( 222xzzyyxy x???同理有其它两式,再令xzwzyvyxu 222,,???. 则原不等式等价于齐次不等式: uvw vuwuwvwvu???????) )( )(( . 因为) )((uwvwvu???? 2 22 v uwvwvu?????????????同理有 2) )((wvuwuwv?????; 2) )((uwuvvuw?????. 故 22) )] )( )( [( uvw vuwuwvwvu( ???????. 从而原不等式成立. 3 、设 A 是一个有 n 个元素的集合, A 的m 个子集 mAAA,,, 21?两两互不包含,试证:( 1);1 1 1 ||??? mi AnC (2). 21 ||mC mi An???其中|| iA 表示 iA 所含元素的个数, ||AnC 表示 n 个不同元素取|| iA 个的组合数